线性规划的势函数法求解示例 我将为您详细讲解线性规划中的势函数法。这个方法通过构造势函数将线性规划问题转化为无约束优化问题，是内点法的一种重要变体。 问题描述 考虑标准形式的线性规划问题： 最小化：cᵀx 满足：Ax = b 　　　x ≥ 0 其中c ∈ ℝⁿ，A ∈ ℝ^{m×n}（满秩），b ∈ ℝ^m，x ∈ ℝⁿ 解题过程 第一步：理解势函数法的基本思想 势函数法的核心是通过构造一个势函数，将原线性规划问题转化为无约束优化问题。这个势函数通常包含两部分： 目标函数项：反映优化目标 障碍函数项：处理非负约束x ≥ 0 常用的势函数形式为： Φ(x) = q·ln(cᵀx - v* ) - ∑_ {j=1}ⁿ ln(x_ j) 其中q > n是势参数，v* 是目标函数的最优值估计。 第二步：构造具体的势函数 在实际应用中，我们通常使用如下形式的势函数： Φ(x) = q·ln(cᵀx) - ∑_ {j=1}ⁿ ln(x_ j) 其中q > n是一个参数，控制障碍函数的影响程度。 这个函数的性质： 当x接近可行域边界（某个x_ j → 0⁺）时，-ln(x_ j) → +∞ 这确保了在优化过程中x始终保持严格正（内点性质） q值越大，势函数越接近原目标函数 第三步：建立优化问题 将原约束优化问题转化为无约束优化问题： 最小化：Φ(x) = q·ln(cᵀx) - ∑_ {j=1}ⁿ ln(x_ j) 满足：Ax = b x > 0（严格正） 注意：虽然仍有等式约束Ax = b，但势函数法主要处理的是非负约束。 第四步：计算势函数的梯度 为了求解这个优化问题，我们需要势函数的梯度： ∇Φ(x) = (q/(cᵀx))·c - X⁻¹·1 其中X = diag(x)是对角矩阵，1是全1向量。 具体推导： ∂Φ/∂x_ j = q·(c_ j/(cᵀx)) - 1/x_ j 第五步：建立最优性条件 在势函数法的最优解x 处，应该满足： ∇Φ(x )与等式约束的梯度空间正交 即存在拉格朗日乘子y使得： ∇Φ(x* ) + Aᵀy = 0 代入梯度表达式： (q/(cᵀx* ))·c - X* ⁻¹·1 + Aᵀy = 0 第六步：构造对偶变量和互补松弛条件 定义对偶变量s = X* ⁻¹·1 > 0 则最优性条件可写为： Aᵀy + s = (q/(cᵀx* ))·c Ax = b x > 0, s > 0 x_ j·s_ j = 1（对每个j） 第七步：算法实现步骤 初始化：选择初始内点x⁰ > 0满足Ax⁰ = b，设定参数q > n 迭代过程： a. 计算当前势函数值Φ(xᵏ) b. 计算梯度∇Φ(xᵏ) c. 确定搜索方向dᵏ（通常使用牛顿方向） d. 选择步长αᵏ，保持xᵏ⁺¹ > 0 e. 更新xᵏ⁺¹ = xᵏ + αᵏdᵏ 终止条件：当势函数值充分接近最优时停止 第八步：搜索方向的计算 牛顿方向通过求解以下系统得到： min ∇Φ(x)ᵀd + ½dᵀ∇²Φ(x)d 满足：Ad = 0 其中Hessian矩阵∇²Φ(x) = -(q/(cᵀx)²)·ccᵀ + X⁻² 第九步：收敛性分析 势函数法具有多项式时间复杂性： 当选择q = n + √n时，算法在O(√n·ln(1/ε))次迭代内收敛到ε-精确解 每次迭代的计算复杂度主要在于求解线性系统 第十步：实际应用考虑 参数选择：q值影响收敛速度，通常q = n + δ，δ为小的正数 初始点选择：需要严格可行的内点 数值稳定性：处理接近边界时的高条件数问题 这个方法将线性规划转化为光滑的无约束优化问题（在仿射空间上），利用了势函数的良好性质来保证全局收敛性。