基于LDA的主题建模算法

题目描述：潜在狄利克雷分配（LDA）是一种生成概率模型，用于从文档集合中自动发现潜在的主题结构。假设每个文档由多个主题混合而成，每个主题是词汇表上的概率分布。LDA通过逆向推理，从观察到的文档词汇中推断出文档-主题分布和主题-词汇分布。

解题过程：

1. 基础概念建立

   • 文档集合（语料库）包含M篇文档，每篇文档是单词序列
   • 预设主题数量K（需人工设定）
   • 两个核心概率分布：
     • 文档-主题分布θ：每篇文档属于各主题的概率
     • 主题-词汇分布φ：每个主题下生成各个词汇的概率

2. 生成过程理解（前向过程）
   LDA假设文档按以下过程生成：
   a. 对每篇文档d，从狄利克雷分布采样得到主题分布θd
   b. 对文档d中的每个词位置n：

   • 从θd采样一个主题zn
   • 从主题zn对应的词汇分布φzn采样一个词wn
     这个生成过程体现了"文档→主题→词汇"的层次关系。

3. 推理问题定义（逆向求解）
   实际中我们只能观察到文档中的词汇，需要反向推断：

   • 输入：文档集合、主题数K
   • 输出：每篇文档的主题分布θd和每个主题的词汇分布φk

4. 吉布斯采样解决方案
   采用近似推理方法——吉布斯采样：
   a. 随机初始化每个词的主题指派
   b. 迭代采样：对每个词，固定其他词的主题，根据条件概率采样新主题
   c. 条件概率公式：P(zi=k|z-i,w) ∝ (n-i,k(d)+α) × (n-i,k(w)+β)/(n-i,k+βV)

   • n-i,k(d)：文档d中除当前词外被分到主题k的词数
   • n-i,k(w)：词汇w在除当前词外被分到主题k的次数
   • α,β：狄利克雷先验参数

5. 参数估计
   采样稳定后：

   • 主题-词汇分布φkw = (nk(w)+β)/(nk+βV)
   • 文档-主题分布θdk = (nd(k)+α)/(nd+Kα)
     其中nk(w)是词汇w被分到主题k的次数，nd(k)是文档d中主题k的出现次数。

6. 实际应用步骤
   a. 文本预处理（分词、去停用词等）
   b. 设置超参数K,α,β
   c. 运行吉布斯采样直至收敛
   d. 分析得到的主题词汇分布和文档主题分布

关键点：LDA的核心思想是通过"文档-主题-词汇"的三层贝叶斯模型，将高维的词汇空间映射到低维的主题空间，实现文本的降维和语义提取。