双调排序（Bitonic Sort）

题目描述：双调排序是一种基于比较的排序算法，特别适合并行计算架构。它的核心思想是将任意序列转换为双调序列（先单调递增后单调递减，或先递减后递增），然后通过特定的比较-交换操作将双调序列排序为完全有序序列。给定一个长度为2的幂次方的无序数组，请解释双调排序的工作原理和实现步骤。

解题过程：

1. 理解双调序列

   • 双调序列是一个循环移位后能满足单调性变化的序列。例如序列[3, 4, 7, 8, 6, 5, 2, 1]先递增（3→4→7→8）后递减（8→6→5→2→1）
   • 关键性质：任意双调序列都能通过递归的比较-交换操作转换为有序序列

2. 掌握基本操作：双调分裂

   • 对于长度为n的双调序列，比较位置i和i+n/2的元素（i=0,1,...,n/2-1）
   • 在递增顺序中，将较小元素放前面；在递减顺序中，将较大元素放前面
   • 操作后得到两个长度减半的双调序列，且前一个序列的所有元素都小于等于后一个序列

3. 构建双调排序网络

   // 对长度为8的序列排序过程：
   阶段1：将相邻2元素排序为双调序列（4个双调对）
   阶段2：将相邻4元素合并为双调序列（2个双调块）  
   阶段3：将整个8元素序列合并为最终有序序列
   

4. 具体实现步骤

   • 步骤1：将输入序列划分为最小双调对（2个元素）
   • 步骤2：通过递归合并，构建越来越大的双调序列
   • 步骤3：在每一层使用双调分裂操作保证序列的双调性
   • 步骤4：最终得到一个完整的双调序列，执行最后一次分裂得到有序序列

5. 算法特点分析

   • 时间复杂度：O(nlog²n)比较操作
   • 空间复杂度：O(1)原地排序
   • 特别优势：所有比较操作可以并行执行，在GPU等并行架构中效率极高

6. 实际应用示例
   对序列[3, 7, 4, 8, 6, 2, 1, 5]排序：

   • 首先构建多个小规模双调序列
   • 通过分层合并，最终得到完全有序序列[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

这个算法虽然在实际软件开发中较少使用，但在并行计算和硬件排序网络设计中具有重要价值。