龙贝格积分法的推导与递推关系

字数 1713 2025-10-28 00:29:09

龙贝格积分法的推导与递推关系

题目描述
龙贝格积分法是一种通过理查森外推技术加速复合梯形公式收敛的高精度数值积分方法。给定积分 \(I = \int_a^b f(x)dx\)，要求推导龙贝格积分法的递推公式，并解释其如何通过逐步外推提高精度。

解题过程

基础：复合梯形公式
- 将区间 \([a, b]\) 等分为 \(2^k\) 个子区间（\(k=0,1,2,\dots\)），步长 \(h_k = \frac{b-a}{2^k}\)。
- 复合梯形公式近似积分：

\[ T_{k,0} = h_k \left[ \frac{f(a)}{2} + \sum_{i=1}^{2^k - 1} f(a + i h_k) + \frac{f(b)}{2} \right] \]

 其中 $T_{k,0}$ 表示第 $k$ 层梯形公式结果（外推阶数为 0）。

误差的理查森外推原理
- 复合梯形公式的误差可展开为 \(E = I - T_{k,0} = c_1 h_k^2 + c_2 h_k^4 + c_3 h_k^6 + \dots\)，仅含偶次幂项。
- 若用步长 \(h_k\) 和 \(h_{k-1}\)（满足 \(h_k = h_{k-1}/2\)）的梯形结果组合，可消去 \(h^2\) 误差项：

\[ I = \frac{4T_{k,0} - T_{k-1,0}}{3} + O(h_k^4) \]

 此即辛普森公式，记为 $T_{k,1}$（外推阶数 1）。

龙贝格递推公式
- 定义 \(T_{k,m}\) 为第 \(k\) 层、外推 \(m\) 次的结果（精度 \(O(h_k^{2m+2})\)）。
- 递推关系：

\[ T_{k,m} = \frac{4^m T_{k,m-1} - T_{k-1,m-1}}{4^m - 1}, \quad k \geq 1, \, 1 \leq m \leq k \]

推导思路：
- 假设 \(T_{k,m-1}\) 和 \(T_{k-1,m-1}\) 的误差主项比例与 \(h^{2m}\) 相关。
- 设 \(I = T_{k,m-1} + \alpha h_k^{2m} + O(h_k^{2m+2})\)，
  \(I = T_{k-1,m-1} + \alpha (2h_k)^{2m} + O(h_k^{2m+2})\)（因 \(h_{k-1} = 2h_k\)）。
- 消去 \(\alpha\)：将第二式乘以 \(4^m\) 后与第一式相减，解得 \(T_{k,m}\)。

计算流程示例
- 以 \(\int_0^1 e^x dx\) 为例（真实值 \(e-1 \approx 1.718281828\)）：
  - k=0：\(T_{0,0} = \frac{1}{2}(e^0 + e^1) = 1.859140914\)
  - k=1：区间二分，\(T_{1,0} = 0.5 \left[ \frac{f(0)}{2} + f(0.5) + \frac{f(1)}{2} \right] = 1.753931093\)
    外推得 \(T_{1,1} = \frac{4T_{1,0} - T_{0,0}}{3} = 1.718861152\)
  - k=2：四等分计算 \(T_{2,0} = 1.727221905\)，
    依次外推：
    \(T_{2,1} = \frac{4T_{2,0} - T_{1,0}}{3} = 1.718318841\)，
    \(T_{2,2} = \frac{16T_{2,1} - T_{1,1}}{15} = 1.718281989\)
收敛性与效率
- 每层外推提升二阶精度，最后输出 \(T_{k,k}\) 精度达 \(O(h^{2k+2})\)。
- 实际以 \(|T_{k,k} - T_{k-1,k-1}| < \epsilon\) 为停止条件，避免过度计算。

通过这种递推，龙贝格法用较少函数求值实现高精度，是数值积分的高效算法。

龙贝格积分法的推导与递推关系题目描述龙贝格积分法是一种通过理查森外推技术加速复合梯形公式收敛的高精度数值积分方法。给定积分 \( I = \int_ a^b f(x)dx \)，要求推导龙贝格积分法的递推公式，并解释其如何通过逐步外推提高精度。解题过程基础：复合梯形公式将区间 \([ a, b]\) 等分为 \(2^k\) 个子区间（\(k=0,1,2,\dots\)），步长 \(h_ k = \frac{b-a}{2^k}\)。复合梯形公式近似积分： \[ T_ {k,0} = h_ k \left[ \frac{f(a)}{2} + \sum_ {i=1}^{2^k - 1} f(a + i h_ k) + \frac{f(b)}{2} \right ] \] 其中 \(T_ {k,0}\) 表示第 \(k\) 层梯形公式结果（外推阶数为 0）。误差的理查森外推原理复合梯形公式的误差可展开为 \(E = I - T_ {k,0} = c_ 1 h_ k^2 + c_ 2 h_ k^4 + c_ 3 h_ k^6 + \dots\)，仅含偶次幂项。若用步长 \(h_ k\) 和 \(h_ {k-1}\)（满足 \(h_ k = h_ {k-1}/2\)）的梯形结果组合，可消去 \(h^2\) 误差项： \[ I = \frac{4T_ {k,0} - T_ {k-1,0}}{3} + O(h_ k^4) \] 此即辛普森公式，记为 \(T_ {k,1}\)（外推阶数 1）。龙贝格递推公式定义 \(T_ {k,m}\) 为第 \(k\) 层、外推 \(m\) 次的结果（精度 \(O(h_ k^{2m+2})\)）。递推关系： \[ T_ {k,m} = \frac{4^m T_ {k,m-1} - T_ {k-1,m-1}}{4^m - 1}, \quad k \geq 1, \, 1 \leq m \leq k \] 推导思路：假设 \(T_ {k,m-1}\) 和 \(T_ {k-1,m-1}\) 的误差主项比例与 \(h^{2m}\) 相关。设 \(I = T_ {k,m-1} + \alpha h_ k^{2m} + O(h_ k^{2m+2})\)， \(I = T_ {k-1,m-1} + \alpha (2h_ k)^{2m} + O(h_ k^{2m+2})\)（因 \(h_ {k-1} = 2h_ k\)）。消去 \(\alpha\)：将第二式乘以 \(4^m\) 后与第一式相减，解得 \(T_ {k,m}\)。计算流程示例以 \(\int_ 0^1 e^x dx\) 为例（真实值 \(e-1 \approx 1.718281828\)）： k=0 ：\(T_ {0,0} = \frac{1}{2}(e^0 + e^1) = 1.859140914\) k=1 ：区间二分，\(T_ {1,0} = 0.5 \left[ \frac{f(0)}{2} + f(0.5) + \frac{f(1)}{2} \right ] = 1.753931093\) 外推得 \(T_ {1,1} = \frac{4T_ {1,0} - T_ {0,0}}{3} = 1.718861152\) k=2 ：四等分计算 \(T_ {2,0} = 1.727221905\)，依次外推： \(T_ {2,1} = \frac{4T_ {2,0} - T_ {1,0}}{3} = 1.718318841\)， \(T_ {2,2} = \frac{16T_ {2,1} - T_ {1,1}}{15} = 1.718281989\) 收敛性与效率每层外推提升二阶精度，最后输出 \(T_ {k,k}\) 精度达 \(O(h^{2k+2})\)。实际以 \(|T_ {k,k} - T_ {k-1,k-1}| < \epsilon\) 为停止条件，避免过度计算。通过这种递推，龙贝格法用较少函数求值实现高精度，是数值积分的高效算法。