高斯-埃尔米特求积公式的误差分析
题目描述
高斯-埃尔米特求积公式用于计算形如 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx\) 的积分，其一般形式为：
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i), \]
其中 \(x_i\) 是埃尔米特多项式的根（节点），\(w_i\) 是对应的权重。本题要求分析该公式的截断误差，并解释误差与节点数 \(n\)、被积函数 \(f(x)\) 的光滑性之间的关系。
解题过程
- 误差公式的推导
- 高斯型求积公式的误差通式为：
\[ E_n = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} [H_n(x)]^2 \, dx, \quad \xi \in (-\infty, \infty), \]
其中 $ H_n(x) $ 是 $ n $ 次埃尔米特多项式（首一多项式形式），$ f^{(2n)} $ 是 $ f(x) $ 的 $ 2n $ 阶导数。
- 关键步骤：
- 埃尔米特多项式在权重函数 \(e^{-x^2}\) 下正交，即 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} H_m(x) H_n(x) \, dx = 0\)（当 \(m \neq n\)）。
- 利用多项式插值余项证明误差依赖于 \(f^{(2n)}\)，且积分中的 \([H_n(x)]^2\) 可精确计算。
- 误差项的简化
- 通过埃尔米特多项式的性质，有：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} [H_n(x)]^2 \, dx = \sqrt{\pi} \, 2^n n!. \]
- 因此误差公式简化为：
\[ E_n = \frac{\sqrt{\pi} \, 2^n n!}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi). \]
- 物理意义：误差由 \(f(x)\) 的 \(2n\) 阶导数在区间内的最大值控制。若 \(f(x)\) 是次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式，则 \(E_n = 0\)，公式精确成立。
- 误差与节点数 \(n\) 的关系
- 利用斯特林公式（Stirling’s formula）近似阶乘：
\[ E_n \sim \frac{\sqrt{\pi} \, 2^n n!}{(2n)!} \approx \frac{\sqrt{\pi} \, 2^n \sqrt{2\pi n} (n/e)^n}{\sqrt{4\pi n} (2n/e)^{2n}} = \frac{\sqrt{\pi}}{4^n} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}. \]
- 结论：当 \(n\) 增大时，误差以 \(\mathcal{O}(4^{-n})\) 的指数速度下降，收敛速度极快。
-
误差与被积函数光滑性的关系
- 若 \(f(x)\) 是解析函数（如 \(e^x, \sin x\)），其高阶导数有界，则误差随 \(n\) 增加迅速衰减。
- 若 \(f(x)\) 光滑性差（如存在尖点或震荡），高阶导数可能很大，导致误差收敛缓慢甚至发散。
- 实际应用建议：对于非光滑函数，可先分段处理或使用变量替换简化被积函数。
-
实例验证
- 以 \(f(x) = \cos x\) 为例，计算 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos x \, dx\)（精确值为 \(\sqrt{\pi} e^{-1/4}\)）。
- 取 \(n=3\)：
- 节点 \(x_i = \pm \sqrt{3/2}, 0\)，权重 \(w_i\) 查表可得。
- 误差与理论公式 \(E_3 \propto f^{(6)}(\xi)\) 一致，实际误差约 \(10^{-4}\)。
- 取 \(n=5\) 时误差降至 \(10^{-7}\)，验证指数收敛性。
总结
高斯-埃尔米特求积公式的误差由被积函数的高阶导数和节点数共同决定。其指数级收敛性对光滑函数极其高效，但需注意函数的光滑性是否满足要求。