非线性规划中的填充函数法基础题
题目描述
考虑无约束非线性规划问题：
\[\min f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n \]
其中 \(f(x)\) 是多峰函数，可能存在多个局部极小点。填充函数法是一种全局优化方法，其核心思想是构造一个辅助函数（填充函数），使得从当前局部极小点出发，能够找到更优的局部极小点。
假设当前已找到一个局部极小点 \(x_1^*\)，对应的函数值为 \(f(x_1^*)\)。设计一个填充函数 \(P(x, x_1^*)\)，满足以下性质：
- \(x_1^*\) 是 \(P(x, x_1^*)\) 的局部极大点；
- 在 \(x_1^*\) 附近存在点 \(x'\) 使得 \(P(x', x_1^*) < P(x_1^*, x_1^*)\)，且从 \(x'\) 出发对 \(f(x)\) 进行局部搜索能找到另一个局部极小点 \(x_2^*\)，满足 \(f(x_2^*) < f(x_1^*)\)。
解题过程
步骤1：理解填充函数的基本结构
填充函数的典型形式为：
\[P(x, x_1^*) = \frac{1}{\rho + \left[f(x) - f(x_1^*)\right]^+} \cdot \phi(\|x - x_1^*\|) \]
其中：
- \(\rho > 0\) 是参数；
- \([t]^+ = \max\{0, t\}\) 确保仅当 \(f(x) \geq f(x_1^*)\) 时填充函数生效；
- \(\phi(\cdot)\) 是单调增函数，例如 \(\phi(t) = t^2\)，保证远离 \(x_1^*\) 时函数值增大。
步骤2：验证填充函数的性质
- 在 \(x_1^*\) 处的性质：
由于 \(x_1^*\) 是 \(f(x)\) 的局部极小点，在 \(x_1^*\) 附近有 \(f(x) \geq f(x_1^*)\)，因此 \([f(x) - f(x_1^*)]^+ = f(x) - f(x_1^*)\)。此时：
\[ P(x, x_1^*) \approx \frac{1}{\rho + (f(x) - f(x_1^*))} \cdot \|x - x_1^*\|^2 \]
当 \(x \to x_1^*\) 时，分母趋于 \(\rho\)，分子趋于 0，故 \(P(x, x_1^*)\) 在 \(x_1^*\) 处取得极小值？注意：需要调整形式以确保 \(x_1^*\) 是极大点。实际常用形式为：
\[ P(x, x_1^*) = -\left[f(x) - f(x_1^*)\right]^+ + \mu \|x - x_1^*\|^2 \]
其中 \(\mu > 0\)。此时若 \(f(x) \geq f(x_1^*)\)，第一项非正，第二项在 \(x_1^*\) 附近很小；当 \(x = x_1^*\) 时，\(P=0\)；当 \(x\) 稍偏离 \(x_1^*\) 且 \(f(x) > f(x_1^*)\) 时，第一项为负，第二项为正但很小，整体 \(P<0\)，因此 \(x_1^*\) 是局部极大点。
步骤3：寻找下山方向
从 \(x_1^*\) 出发，沿 \(P(x, x_1^*)\) 的下降方向（即 \(-\nabla P\) 方向）移动，找到点 \(x'\) 使得 \(P(x', x_1^*) < P(x_1^*, x_1^*)\)。例如，采用梯度下降法更新：
\[x_{k+1} = x_k - \alpha \nabla P(x_k, x_1^*) \]
直到 \(P\) 值显著下降且离开 \(x_1^*\) 的邻域。
步骤4：切换回原函数搜索
在 \(x'\) 处，以 \(x'\) 为起点对原函数 \(f(x)\) 进行局部优化（如拟牛顿法），找到新的局部极小点 \(x_2^*\)。若 \(f(x_2^*) < f(x_1^*)\)，则更新当前最优解为 \(x_2^*\)，并基于 \(x_2^*\) 构造新的填充函数重复过程；否则调整填充函数参数重新尝试。
步骤5：算法流程总结
- 初始化：随机选择起点，找到第一个局部极小点 \(x_1^*\)。
- 构造填充函数 \(P(x, x_1^*)\)。
- 从 \(x_1^*\) 出发优化 \(P(x, x_1^*)\)，找到出口点 \(x'\)。
- 从 \(x'\) 出发优化 \(f(x)\)，找到新局部极小点 \(x_2^*\)。
- 若 \(f(x_2^*) < f(x_1^*)\)，令 \(x_1^* \gets x_2^*\) 并返回步骤2；否则终止或调整参数。
关键点：填充函数需平衡“逃离当前极小点”与“引导向更优区域”的能力，参数选择（如 \(\mu\)）影响算法效率。