SOR（逐次超松弛）迭代法解线性方程组 我将为您讲解SOR（逐次超松弛）迭代法，这是一种用于求解线性方程组的高效迭代算法。 题目描述 求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是 n×n 系数矩阵，b 是常数向量。SOR方法通过引入松弛因子 ω 来加速高斯-赛德尔迭代法的收敛速度，特别适用于大型稀疏线性方程组。 算法原理 矩阵分裂 ：将矩阵 A 分解为 A = D - L - U D：A 的对角线元素构成的对角矩阵 L：A 的严格下三角部分（取负号）构成的矩阵 U：A 的严格上三角部分（取负号）构成的矩阵 迭代格式 ：x⁽ᵏ⁺¹⁾ = (D - ωL)⁻¹[ (1-ω)D + ωU ]x⁽ᵏ⁾ + ω(D - ωL)⁻¹b 具体计算步骤 初始化 给定初始猜测解 x⁽⁰⁾（通常设为零向量） 选择松弛因子 ω（通常 1 < ω < 2） 设置收敛容差 ε 和最大迭代次数 迭代计算 （对每个分量 i = 1,2,...,n） xᵢ⁽ᵏ⁺¹⁾ = (1-ω)xᵢ⁽ᵏ⁾ + (ω/aᵢᵢ)[ bᵢ - Σⱼ₌₁ⁱ⁻¹ aᵢⱼxⱼ⁽ᵏ⁺¹⁾ - Σⱼ₌ᵢ₊₁ⁿ aᵢⱼxⱼ⁽ᵏ⁾ ] 收敛判断 计算残差 ||b - Ax⁽ᵏ⁺¹⁾|| 若残差 < ε 或达到最大迭代次数，则停止 关键参数选择 最优松弛因子 ωₒₚₜ = 2/(1+√(1-ρ(J)²))，其中 ρ(J) 是雅可比迭代矩阵的谱半径 当 ω=1 时，SOR退化为高斯-赛德尔迭代 当 ω>1 时为超松弛，ω <1 时为低松弛 收敛性分析 SOR方法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径小于1。对于对称正定矩阵，当 0<ω <2 时方法保证收敛。 这个算法通过合理选择松弛因子，可以显著提高收敛速度，在实际工程计算中广泛应用。