Jacobi特征值算法求对称矩阵特征值 题目描述 Jacobi特征值算法是一种求解对称矩阵全部特征值和特征向量的迭代方法。该算法通过一系列正交相似变换（Jacobi旋转），逐步将对称矩阵对角化。每次迭代选择绝对值最大的非对角元素，通过Givens旋转将其化为零，最终使矩阵趋近于对角矩阵，对角线元素即为特征值的近似值。 解题过程 1. 算法基本原理 对于n阶对称矩阵A，存在正交矩阵Q使得Q^TAQ = Λ（对角矩阵） Jacobi算法通过构造一系列旋转矩阵P_ k：A_ {k+1} = P_ k^T A_ k P_ k 每次旋转消去一个非对角元素，经过多次迭代后矩阵趋于对角形 2. 选择旋转元素 在每次迭代中，选择当前矩阵中绝对值最大的非对角元素a_ {pq} 设其行列坐标为(p,q)，其中p <q 这个元素将作为本次旋转的消去目标 3. 构造Jacobi旋转矩阵 旋转矩阵P是单位矩阵的修正版本，仅在(p,p)、(p,q)、(q,p)、(q,q)位置有非零元素： P = [ c -s ] [ s c ] （针对p,q行列的2×2子矩阵） 其中旋转参数c=cosθ, s=sinθ通过以下公式计算： τ = (a_ {qq} - a_ {pp})/(2a_ {pq}) t = sign(τ)/(|τ| + √(1+τ²)) （避免数值不稳定） c = 1/√(1+t²) s = t·c 4. 执行相似变换 更新矩阵A：A' = P^T A P 具体更新规则： a' {pp} = a {pp} - t·a_ {pq} a' {qq} = a {qq} + t·a_ {pq} a' {pq} = a' {qp} = 0 对于i≠p,q： a' {ip} = a' {pi} = c·a_ {ip} - s·a_ {iq} a' {iq} = a' {qi} = s·a_ {ip} + c·a_ {iq} 5. 累积变换矩阵 记录所有旋转的累积效果：Q_ k = Q_ {k-1} P_ k 初始Q_ 0设为单位矩阵 最终Q的列向量就是特征向量 6. 收敛判断 计算非对角元素的Frobenius范数：off(A) = √(Σ_ {i≠j} a_ {ij}²) 当off(A) < ε（预设精度）时停止迭代 此时对角线元素即为特征值近似值 7. 算法特性 每次迭代使off(A)单调递减 具有二次收敛性 适合中小规模稠密对称矩阵 数值稳定性好，能保持矩阵对称性 示例说明 考虑2×2对称矩阵A = [ [ 2,1],[ 1,2] ]： 选择a₁₂=1作为消去目标 计算τ=0, t=1, c=s=1/√2 应用旋转后得到对角矩阵[ [ 1,0],[ 0,3] ] 特征值为1和3，特征向量为旋转矩阵的列向量 通过反复应用这个过程到更大矩阵，可以逐步将所有非对角元素消去，从而得到全部特征值和特征向量。