朴素贝叶斯分类算法的原理与计算过程 题目描述 假设我们有一个垃圾邮件分类任务，数据集包含邮件的文本内容及其标签（垃圾邮件/非垃圾邮件）。请使用朴素贝叶斯算法构建分类器，并逐步说明如何计算一封新邮件属于垃圾邮件的概率。要求详细解释条件独立假设、先验概率与后验概率的计算方法。 解题过程 1. 算法核心思想 朴素贝叶斯基于贝叶斯定理： \[ P(Y|X) = \frac{P(X|Y)P(Y)}{P(X)} \] 其中： \( Y \) 是类别（如垃圾邮件/非垃圾邮件） \( X \) 是特征向量（如邮件中的单词组合） 朴素假设 ：所有特征在给定类别下条件独立，即 \( P(X|Y) = \prod_ {i=1}^n P(x_ i|Y) \)。 2. 数据预处理与特征提取 对训练集中的所有邮件进行分词，构建词汇表 \( V \)（例如包含 10,000 个单词）。 将每封邮件表示为词袋模型（Bag-of-Words），即一个长度为 \( |V| \) 的向量，每个位置表示对应单词是否出现（或出现次数）。 3. 计算先验概率 \( P(Y) \) 假设训练集中有 100 封邮件，其中 60 封是垃圾邮件（\( Y=1 \)），40 封是非垃圾邮件（\( Y=0 \)）： \[ P(Y=1) = \frac{60}{100} = 0.6, \quad P(Y=0) = 0.4 \] 4. 计算条件概率 \( P(x_ i|Y) \) 以单词“优惠”为例： 在垃圾邮件中，“优惠”出现在 30 封邮件中，垃圾邮件总词频数为 5,000（所有垃圾邮件的单词总数）。 使用拉普拉斯平滑（避免概率为 0），设置平滑参数 \( \alpha=1 \)： \[ P(\text{“优惠”}|Y=1) = \frac{30 + 1}{5000 + |V|} = \frac{31}{5000 + 10000} = \frac{31}{15000} \approx 0.00207 \] 同理计算非垃圾邮件下的条件概率。 5. 对新邮件进行分类 假设新邮件内容为：“点击获取优惠”，分词后得到特征向量 \( X = \{\text{点击}, \text{获取}, \text{优惠}\} \)。 计算后验概率（忽略分母 \( P(X) \) ，仅比较分子）： \[ \begin{aligned} P(Y=1|X) &\propto P(Y=1) \cdot P(\text{点击}|Y=1) \cdot P(\text{获取}|Y=1) \cdot P(\text{优惠}|Y=1) \\ P(Y=0|X) &\propto P(Y=0) \cdot P(\text{点击}|Y=0) \cdot P(\text{获取}|Y=0) \cdot P(\text{优惠}|Y=0) \end{aligned} \] 代入条件概率值（需提前基于训练集计算所有单词的条件概率）。 比较两个概率值，将邮件分到概率更大的类别。 6. 处理数值下溢问题 由于多个概率相乘可能导致结果过小，实际计算时对等式取对数： \[ \log P(Y|X) \propto \log P(Y) + \sum_ {i=1}^n \log P(x_ i|Y) \] 将乘法转为加法，避免浮点数下溢。 关键点总结 条件独立假设简化了计算，但可能忽略单词间的关联。 拉普拉斯平滑处理未出现单词的问题。 对数变换提升数值稳定性。