Schur分解在矩阵特征值计算中的应用 题目描述 ： 给定一个n×n的复矩阵A，计算其Schur分解形式，并说明该分解如何用于求解矩阵的全部特征值。Schur分解定理指出，任意复方阵A都可以被分解为A = QTQᴴ的形式，其中Q是酉矩阵（QᴴQ = I），T是上三角矩阵（称为Schur形式）。由于相似变换不改变特征值，而T是上三角矩阵，其特征值就是主对角线元素，因此Schur分解提供了一种直接读取特征值的方法。 解题过程 ： 1. 理解Schur分解的核心思想 目标是通过酉相似变换（保持特征值不变）将矩阵A化为上三角矩阵T。 酉矩阵Q满足Qᴴ = Q⁻¹，这种变换是数值稳定的。 上三角矩阵T的特征值就是其主对角线上的元素，从而直接得到A的特征值。 2. 分解的关键步骤：迭代构造Q和T 第一步：选取一个特征值近似值作为位移（shift） 为提高收敛速度，通常使用位移策略。例如，对矩阵A的右下角2×2子矩阵计算特征值，取接近A[ n,n ]的特征值作为位移μ。 第二步：应用QR分解与位移 计算带位移的QR分解：A - μI = QR，其中Q是酉矩阵，R是上三角矩阵。 第三步：反向变换更新矩阵 计算新矩阵A' = RQ + μI。这一步等价于A' = QᴴAQ，因为： A' = RQ + μI = Qᴴ(A - μI)Q + μI = QᴴAQ。 第四步：重复迭代 将A'作为新的A重复上述过程。每次迭代会使矩阵的下次对角线元素趋于零，逐渐逼近上三角形式。 3. 处理实矩阵的特殊情况 若A是实矩阵，但特征值为复数，直接使用QR迭代会引入复数运算。此时采用 双步隐式QR算法 ： 连续执行两次QR迭代（使用共轭的位移μ和μ̄），但通过隐式变换避免显式复数运算。 通过特殊的相似变换（如Bulge Chase技巧）保持实Schur形式（拟上三角矩阵，对角块为1×1或2×2）。 4. 读取特征值 最终得到的T是上三角矩阵（实矩阵时为实Schur形式）。 特征值直接取T的主对角线元素 （若为2×2对角块，则求解该子块的特征值）。 5. 数值稳定性与效率优化 先通过Hessenberg化将A化为上Hessenberg矩阵（次对角线以下为零），减少QR迭代的计算量。 位移策略（如双位移）加速收敛，避免缓慢的幂迭代过程。 总结 ： Schur分解通过迭代酉相似变换将矩阵简化为三角形式，特征值即为主对角线元素。结合Hessenberg化简和位移策略，该算法兼具数值稳定性和高效性，是计算一般矩阵特征值的标准方法。