非线性规划中的Karmarkar内点法基础题 题目描述 考虑以下线性规划问题（Karmarkar算法最初针对线性规划设计，但思想可扩展至特定非线性规划）： 最小化目标函数 \( f(x) = c^T x \) 约束条件： \( Ax = 0 \)（等式约束，其中 \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \)，且秩为 \( m \)）； \( \sum_ {i=1}^n x_ i = 1 \)（单纯形约束）； \( x \geq 0 \)（非负约束）。 假设可行域有内点（即存在 \( x > 0 \) 满足约束），且最优解目标函数值为零。要求使用Karmarkar内点法找到最优解。 解题过程 问题标准化与假设 Karmarkar算法要求问题满足特定结构：约束需包含单纯形条件（\(\sum x_ i = 1\)），且最优值已知为0（可通过平移变换实现）。 若原问题不满足此形式，需先通过变量替换和缩放转化为标准型。本例已满足条件。 初始点选择 选择严格内点作为初始解，例如 \( x^{(0)} = \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{n}, \dots, \frac{1}{n} \right)^T \)，确保所有分量正且满足约束。 投影变换（核心步骤） 定义缩放矩阵 \( D_ k = \text{diag}(x^{(k)}) \)，其中 \( x^{(k)} \) 是第 \( k \) 次迭代点。 通过变换 \( y = D_ k^{-1} x \) 将当前点映射到 \( y \) 空间，此时 \( x^{(k)} \) 变为 \( y^{(k)} = (1,1,\dots,1)^T \)。 在 \( y \) 空间中，约束变为 \( AD_ k y = 0 \) 和 \( \sum_ {i=1}^n y_ i = n \)，同时保持 \( y \geq 0 \)。 可行方向计算 在 \( y \) 空间中，目标函数变为 \( c^T D_ k y \)。 计算投影梯度：构造投影矩阵 \( P = I - B^T (B B^T)^{-1} B \)，其中 \( B \) 是 \( y \) 空间中约束的系数矩阵（合并 \( AD_ k \) 和全1行）。 沿投影梯度方向 \( d_ y = -P (D_ k c) \) 移动，但需保证步长足够小以避免触及边界。 步长选择与回溯 选择步长 \( \alpha \in (0,1) \)，通常取固定值（如 \( \alpha = 0.25 \)）以确保新点 \( y^{(k+1)} = y^{(k)} + \alpha d_ y \) 仍为内点（即 \( y^{(k+1)} > 0 \)）。 若步长导致分量非正，需缩小 \( \alpha \) 或使用回溯线搜索。 逆变换与迭代 将 \( y^{(k+1)} \) 映射回原空间：\( x^{(k+1)} = D_ k y^{(k+1)} / (\sum_ i y^{(k+1)}_ i) \)（重新归一化以满足单纯形约束）。 检查终止条件：若 \( c^T x^{(k)} \) 足够接近0（或梯度范数小于阈值），停止迭代；否则返回步骤3。 收敛性保证 Karmarkar算法通过每次迭代使目标函数值按比例下降，复杂度为多项式时间（与单纯形法不同）。关键是通过投影变换避免靠近边界，加速收敛。 示例简化计算 假设 \( n=2 \)，\( c = [ 1, -1]^T \)，\( A = [ 1, 1] \)，约束为 \( x_ 1 + x_ 2 = 0 \) 和 \( x_ 1 + x_ 2 = 1 \)（后者矛盾，此处仅示意）。实际应用中需确保约束相容，并通过预处理满足算法要求。