Diffie-Hellman密钥交换算法 题目描述 假设Alice和Bob希望在公开的通信信道（如互联网）上协商一个共享密钥，但信道可能被窃听。他们如何在不直接传输密钥的情况下，安全地生成一个相同的密钥？Diffie-Hellman密钥交换算法通过数学原理解决此问题，其安全性依赖于离散对数问题的计算难度。 解题过程 1. 算法背景与核心思想 目标：双方各自生成一对密钥（私钥+公钥），通过交换公钥，独立计算出一个相同的共享密钥。 依赖数学问题：在有限域中，已知 \( g, p, g^a \mod p \)，求 \( a \) 非常困难（离散对数问题）。 2. 参数准备 选择公开参数： 大素数 \( p \)（通常为1024位或以上）。 整数 \( g \)（通常是模 \( p \) 的原根，确保 \( g^k \mod p \) 能生成大量不同结果）。 示例：设 \( p = 23 \), \( g = 5 \)（简化计算演示）。 3. 双方生成密钥对 Alice ： 随机选择私钥 \( a = 6 \)（实际中为极大随机数）。 计算公钥 \( A = g^a \mod p = 5^6 \mod 23 \)。 \( 5^2 = 25 \equiv 2 \mod 23 \) \( 5^4 = (5^2)^2 \equiv 2^2 = 4 \mod 23 \) \( 5^6 = 5^4 \times 5^2 \equiv 4 \times 2 = 8 \mod 23 \) 公钥 \( A = 8 \)。 Bob ： 随机选择私钥 \( b = 15 \)。 计算公钥 \( B = g^b \mod p = 5^{15} \mod 23 \)。 分解指数：\( 5^{15} = 5^{8+4+2+1} \) \( 5^1 = 5 \) \( 5^2 \equiv 2 \) \( 5^4 \equiv 4 \) \( 5^8 = (5^4)^2 \equiv 4^2 = 16 \mod 23 \) \( 5^{15} \equiv 16 \times 4 \times 2 \times 5 = 640 \equiv 19 \mod 23 \)（因 \( 640 ÷ 23 = 27 \) 余 \( 19 \)） 公钥 \( B = 19 \)。 4. 交换公钥并计算共享密钥 Alice 将 \( A=8 \) 发送给Bob，Bob 将 \( B=19 \) 发送给Alice（窃听者可能获知 \( A, B, g, p \)）。 Alice计算共享密钥 ： \( S = B^a \mod p = 19^6 \mod 23 \) \( 19^2 = 361 \equiv 16 \mod 23 \)（因 \( 361 ÷ 23 = 15 \) 余 \( 16 \)） \( 19^4 = (19^2)^2 \equiv 16^2 = 256 \equiv 3 \mod 23 \)（\( 256 ÷ 23 = 11 \) 余 \( 3 \)） \( 19^6 = 19^4 \times 19^2 \equiv 3 \times 16 = 48 \equiv 2 \mod 23 \)（\( 48 ÷ 23 = 2 \) 余 \( 2 \)） 共享密钥 \( S = 2 \)。 Bob计算共享密钥 ： \( S = A^b \mod p = 8^{15} \mod 23 \) \( 8^2 = 64 \equiv 18 \mod 23 \)（\( 64 - 2×23 = 18 \)） \( 8^4 = (8^2)^2 \equiv 18^2 = 324 \equiv 2 \mod 23 \)（\( 324 ÷ 23 = 14 \) 余 \( 2 \)） \( 8^8 = (8^4)^2 \equiv 2^2 = 4 \mod 23 \) \( 8^{15} = 8^{8+4+2+1} \equiv 4 \times 2 \times 18 \times 8 = 1152 \mod 23 \) \( 1152 ÷ 23 = 50 \) 余 \( 2 \)（因 \( 23×50=1150 \)） 共享密钥 \( S = 2 \)。 5. 安全性分析 窃听者仅知 \( g=5, p=23, A=8, B=19 \)，但无法轻易求出 \( a=6 \) 或 \( b=15 \)（离散对数问题）。 实际应用中，\( p \) 需极大（如2048位），使暴力破解不可行。 6. 应用场景 用于TLS/SSL、SSH等协议的前向密钥交换。 注意：基础DH算法不提供身份认证，需结合数字签名或PKI防止中间人攻击。 通过以上步骤，双方在公开信道安全生成了共享密钥，无需提前秘密传输密钥。