分治法计算对称矩阵特征值

我将为您讲解分治法在对称矩阵特征值计算中的应用。这个算法特别适合大型对称矩阵的特征值计算。

算法描述
分治法计算对称矩阵特征值的基本思想是将大矩阵分解为小矩阵，递归求解小矩阵的特征值问题，然后通过特定技巧将小矩阵的解合并为大矩阵的解。这种方法特别适合对称三对角矩阵。

解题过程详解

步骤1：矩阵分解
考虑n×n对称三对角矩阵T：

T = [α₁ β₁        ]
    [β₁ α₂ β₂     ]
    [   β₂ α₃ ⋱   ]
    [      ⋱ ⋱ βₙ₋₁]
    [        βₙ₋₁ αₙ]

将T分解为两个小矩阵和一个秩1修正项：

T = [T₁   0] + ρ × vvᵀ
    [0   T₂]

其中：

• T₁是前k×k主子矩阵
• T₂是后(n-k)×(n-k)子矩阵
• ρ = βₖ（第k个次对角元）
• v是n维向量：[0,...,0,1,1,0,...,0]ᵀ（第k和k+1位置为1）

步骤2：递归求解子问题
对T₁和T₂递归应用相同的分治策略：

• 如果子矩阵足够小（如1×1或2×2），直接计算特征值
• 否则继续分解为更小的子矩阵

步骤3：特征值合并
假设我们已经得到：

• T₁的特征值分解：T₁ = Q₁Λ₁Q₁ᵀ
• T₂的特征值分解：T₂ = Q₂Λ₂Q₂ᵀ

那么原矩阵可写为：

T = [Q₁       ][Λ₁       ][Q₁ᵀ     ] + ρ × vvᵀ
    [    Q₂]  [    Λ₂]  [    Q₂ᵀ]

令D = diag(Λ₁, Λ₂)，则问题转化为求对角矩阵D加上秩1修正的特征值：

T = QDQᵀ + ρ × vvᵀ

步骤4：秩1修正特征值问题
现在需要求解特征值问题：

(D + ρ × zzᵀ)w = λw

其中z = Qᵀv

特征值λ满足特征方程：

1 + ρ × Σ(zᵢ²/(dᵢ - λ)) = 0

其中dᵢ是D的对角元。

步骤5：特征值定位和计算
对于每个特征值λ：

• 它位于D的相邻特征值之间（特征值分隔定理）
• 使用牛顿法或有理分式迭代法求解特征方程
• 特征向量可通过反迭代法计算

步骤6：算法复杂度分析

• 分治法的时间复杂度为O(n²)到O(n³)之间
• 相比标准的QR算法（O(n³)）有优势
• 特别适合并行计算

关键技巧

1. 特征值分隔定理确保特征值的唯一性
2. 使用deflation技术处理重复或接近的特征值
3. 数值稳定性通过精心设计的正交变换保证

这个算法将O(n³)的问题转化为多个小问题的组合，通过巧妙的数学变换实现了高效计算。