自适应高斯-克朗罗德积分法的并行化实现思路

题目描述
自适应高斯-克朗罗德积分法是一种通过嵌套的高斯节点（如7点高斯积分）和克朗罗德节点（如15点扩展节点）计算积分近似值，并利用两者差值估计误差的自适应算法。当需要计算高精度积分或被积函数计算成本较高时，串行递归实现可能效率不足。本题要求设计一种并行化策略，在保证精度的前提下加速计算。

关键步骤与思路

1. 理解串行算法的瓶颈

   • 串行实现采用递归二分区间：若当前子区间误差超过阈值，则将其平分为两个子区间并分别递归计算。
   • 问题：递归过程本质是顺序的，无法直接利用多核资源；且子区间数量动态增长，负载均衡困难。

2. 并行化策略：任务池模型

   • 将初始积分区间作为任务池的起点。
   • 主线程（或指定线程）管理一个任务队列，初始包含整个区间。
   • 工作线程从队列中获取区间任务，计算其高斯-克朗罗德积分值和误差：
     • 若误差小于阈值，将结果累加到全局积分值。
     • 若误差超过阈值，将该区间拆分为两个子区间任务放回队列。
   • 优点：动态任务分配可适应不均匀的计算负载。

3. 避免重复计算的优化

   • 高斯-克朗罗德法的15个节点中包含7个高斯节点，需复用已计算的功能值。
   • 并行环境下，子区间拆分时，父区间的节点计算结果需传递给子任务（例如，拆分点功能值可直接复用）。
   • 实现：每个任务保存其区间内所有预计算节点的坐标和函数值，拆分时子任务继承共享节点的值。

4. 同步与精度控制

   • 全局积分值和误差需原子操作或锁保护，避免竞争条件。
   • 设置最小区间长度限制，防止过度拆分导致任务爆炸。
   • 终止条件：所有线程空闲且任务队列为空时，算法结束。

5. 示例流程

   • 初始化：任务队列包含区间 \([a, b]\)，全局积分值 \(S = 0\)。
   • 线程1取任务 \([a, b]\)，计算误差 \(e\)：
     • 若 \(e > \text{阈值}\)，拆分为 \([a, c]\) 和 \([c, b]\) 放回队列。
   • 线程2取任务 \([a, c]\)，若其误差合格，将结果累加到 \(S\)。
   • 重复直到队列为空且无活动任务。

总结
通过任务池模型将动态生成的区间计算任务分配给多个线程，结合节点计算的复用策略，在保持自适应精度的同时显著提升效率。实际实现需注意负载均衡和数据同步的细节。