Hessenberg矩阵分解在特征值计算中的应用 题目描述 给定一个n×n的实矩阵A，通过相似变换将其化简为上Hessenberg矩阵H（即当i > j+1时，h_ ij = 0），使得A = QHQ^T，其中Q是正交矩阵。这一分解如何简化特征值计算？ 解题过程 目标分析 特征值计算中，直接处理稠密矩阵复杂度高（如QR算法需O(n³)每迭代）。若A是上Hessenberg矩阵（次对角线以下全为零），后续QR迭代的计算量降为O(n²)每步。因此，先通过正交变换将A化为Hessenberg形式，可大幅优化特征值求解。 Hessenberg分解的核心思想 使用正交变换（如Householder反射）逐步将A的列向量规范化。具体步骤： 对第k列（k从1到n-2），构造Householder变换矩阵P_ k，使A[ k+2:n, k ]分量变为零。 左乘P_ k更新A的行，右乘P_ k保持相似性（因P_ k^T = P_ k）。 逐步分解示例（以4×4矩阵A为例） 步骤1：处理第一列 取A的第一列下方元素a[ 2:4,1]，构造Householder向量v_ 1使其反射为[ ‖a‖, 0, 0 ]^T。 计算P_ 1 = I - 2(v_ 1 v_ 1^T)/(v_ 1^T v_ 1)，左乘P_ 1 A：清零A[ 3,1]和A[ 4,1 ]。 右乘P_ 1保持相似性：A ← P_ 1 A P_ 1。此时A[ 3:4,1]为零，但右乘可能破坏第一列零元，因P_ 1仅影响后三行/列，第一列零结构保留。 步骤2：处理第二列 类似地，对A[ 3:4,2]构造P_ 2，左乘P_ 2清零A[ 4,2]，再右乘P_ 2。最终得到上Hessenberg矩阵H。 算法特性 正交性：Q = P_ 1 P_ 2 ... P_ {n-2}保证相似变换A = QHQ^T，特征值不变。 稳定性：Householder变换数值稳定，避免高斯消元中的舍入误差放大。 在特征值计算中的应用 后续对H应用隐式QR算法：通过Givens旋转实现QR分解，利用H的稀疏性减少计算量。 例如，单步QR迭代仅需O(n²)浮点运算，而直接对稠密矩阵需O(n³)。 总结 Hessenberg分解通过正交相似变换将一般矩阵预处理为稀疏结构，使特征值算法效率提升一个数量级，是数值线性代数中连接稠密矩阵与高效迭代算法的关键桥梁。