复合梯形公式的推导与应用 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ a^b f(x) \, dx \)，其中 \( f(x) \) 在区间 \([ a, b]\) 上连续。使用复合梯形公式（Composite Trapezoidal Rule）对该积分进行数值近似，要求将区间 \([ a, b ]\) 均匀分割为 \( n \) 个子区间，步长 \( h = \frac{b-a}{n} \)，并分析其误差特性。 解题过程 1. 基础梯形公式回顾 梯形公式是数值积分中最简单的插值型求积公式之一。对区间 \([ a, b ]\) 上的积分，梯形公式为： \[ \int_ a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2} \left[ f(a) + f(b) \right ]. \] 其几何意义是用梯形面积近似曲边梯形的面积。 2. 复合梯形公式的构造 为了提升精度，将区间 \([ a, b ]\) 均匀分割为 \( n \) 个子区间，节点记为： \[ x_ i = a + ih \quad (i=0,1,\dots,n), \quad h = \frac{b-a}{n}. \] 在每个子区间 \([ x_ {i-1}, x_ i ]\) 上应用梯形公式，再求和： \[ \int_ a^b f(x) \, dx = \sum_ {i=1}^n \int_ {x_ {i-1}}^{x_ i} f(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^n \frac{h}{2} \left[ f(x_ {i-1}) + f(x_ i) \right ]. \] 合并相邻子区间的公共节点，得到复合梯形公式： \[ T_ n = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2\sum_ {i=1}^{n-1} f(x_ i) + f(b) \right ]. \] 3. 误差分析 梯形公式的局部截断误差来源于线性插值与真实函数的偏差。对单个子区间 \([ x_ {i-1}, x_ i]\)，若 \( f \in C^2[ a, b ] \)，则误差为： \[ E_ i = -\frac{h^3}{12} f''(\xi_ i), \quad \xi_ i \in [ x_ {i-1}, x_ i ]. \] 整体误差为各子区间误差之和： \[ E_ n = \sum_ {i=1}^n E_ i = -\frac{h^3}{12} \sum_ {i=1}^n f''(\xi_ i). \] 由介值定理，存在 \( \xi \in [ a, b] \) 使得 \( \sum_ {i=1}^n f''(\xi_ i) = n f''(\xi) \)，代入 \( h = \frac{b-a}{n} \) 得： \[ E_ n = -\frac{(b-a)h^2}{12} f''(\xi). \] 因此，复合梯形公式的误差阶为 \( O(h^2) \)，即当 \( n \) 加倍（\( h \) 减半）时，误差大致缩小为原来的 \( 1/4 \)。 4. 应用示例 计算 \( I = \int_ 0^1 e^{-x^2} dx \)（精确值约 0.746824）。取 \( n=4 \)： \( h=0.25 \)，节点 \( x_ i = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 \)。 \( T_ 4 = \frac{0.25}{2} \left[ f(0) + 2f(0.25) + 2f(0.5) + 2f(0.75) + f(1) \right ] \approx 0.742984 \)。 误差 \( \approx 0.00384 \)，与理论阶一致。 5. 实际应用中的步长选择 若预设误差容限 \( \epsilon \)，可由误差公式反推步长： \[ h \approx \sqrt{\frac{12\epsilon}{(b-a)M_ 2}}, \quad M_ 2 = \max_ {x\in[ a,b ]} |f''(x)|. \] 实践中常采用逐次加倍 \( n \) 的策略，比较两次结果的差值直至满足精度要求。 总结 复合梯形公式通过均匀分割区间、局部线性近似和累加，将积分转化为函数值的加权和。其推导直观，实现简单，且误差可控，是许多自适应积分方法的基础。