非线性规划中的自适应惩罚函数法基础题

字数 2404 2025-10-27 17:41:11

非线性规划中的自适应惩罚函数法基础题

题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化目标函数 \(f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2\)
约束条件为：

\(g_1(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0\)
\(g_2(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0\)
初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，允许误差 \(\epsilon = 10^{-3}\)。
要求使用自适应惩罚函数法求解该问题，通过动态调整惩罚权重使迭代收敛到约束最优解。

解题过程
自适应惩罚函数法的核心思想是：将约束违反程度融入目标函数，形成惩罚函数 \(P(x, \mu)\)，并随着迭代动态调整惩罚权重 \(\mu\)，使解逐渐逼近可行域。具体步骤如下：

1. 构造自适应惩罚函数

定义约束违反量 \(V(x) = \sum_{i=1}^{2} \max(0, g_i(x))\)，即所有违反约束的正值之和。
惩罚函数为 \(P(x, \mu) = f(x) + \mu \cdot V(x)^2\)（使用平方惩罚增强敏感度）。
初始权重 \(\mu^{(0)} = 1\)，权重更新公式：\(\mu^{(k+1)} = \beta \cdot \mu^{(k)}\)，其中 \(\beta > 1\)（例如 \(\beta = 2\)）。

2. 迭代求解无约束子问题

步骤 2.1：初始化
设 \(k = 0\)，\(x^{(0)} = (0, 0)\)，\(\mu^{(0)} = 1\)，\(\beta = 2\)。
计算初始约束违反量：
\(V(x^{(0)}) = \max(0, 0+0-2) + \max(0, 0-0) = 2 + 0 = 2\)。
步骤 2.2：求解当前惩罚函数的最小值
当前子问题：最小化 \(P(x, \mu^{(k)}) = (x_1-2)^2 + (x_2-1)^2 + \mu^{(k)} \cdot V(x)^2\)。
使用梯度下降法（或牛顿法）求解：
- 梯度计算：
  \(\nabla P = \left[ 2(x_1-2) + 2\mu^{(k)} V(x) \cdot \frac{\partial V}{\partial x_1}, \quad 2(x_2-1) + 2\mu^{(k)} V(x) \cdot \frac{\partial V}{\partial x_2} \right]\)
  其中 \(\frac{\partial V}{\partial x_1} = \mathbf{1}_{g_1>0} + 2x_1 \cdot \mathbf{1}_{g_2>0}\)（\(\mathbf{1}_{g_i>0}\) 为示性函数，当约束违反时取 1）。
- 以 \(k=0\) 为例：
  在 \(x^{(0)}\) 处，\(g_1 > 0\)，\(g_2 \leq 0\)，故 \(\frac{\partial V}{\partial x_1} = 1\)，\(\frac{\partial V}{\partial x_2} = 1\)。
  梯度下降更新：\(x^{(1)} = x^{(0)} - \alpha \nabla P\)，步长 \(\alpha\) 通过线搜索确定。
  经多次梯度下降迭代后，得到 \(\mu^{(0)}\) 下的近似解 \(x^{(1)} \approx (0.8, 0.5)\)。
步骤 2.3：检查收敛条件
计算约束违反量 \(V(x^{(k)})\)。若 \(V(x^{(k)}) < \epsilon\) 且连续两次迭代解的变化 \(\|x^{(k)} - x^{(k-1)}\| < \epsilon\)，则停止；否则进入下一步。
步骤 2.4：更新惩罚权重
令 \(\mu^{(k+1)} = \beta \cdot \mu^{(k)}\)，\(k = k+1\)，返回步骤 2.2。

3. 迭代过程示例

迭代 1（\(\mu^{(0)}=1\)）：
子问题解 \(x^{(1)} \approx (0.8, 0.5)\)，\(V(x^{(1)}) \approx 0.3\)（轻微违反 \(g_1\)）。
不满足收敛条件，更新 \(\mu^{(1)} = 2\)。
迭代 2（\(\mu^{(1)}=2\)）：
重新最小化 \(P(x, 2)\)，解 \(x^{(2)} \approx (1.0, 1.0)\)，\(V(x^{(2)}) = 0\)（完全可行）。
检查收敛：\(V(x^{(2)}) = 0 < \epsilon\)，且 \(\|x^{(2)} - x^{(1)}\| \approx 0.36 > \epsilon\)，需继续迭代。
迭代 3（\(\mu^{(2)}=4\)）：
解 \(x^{(3)} \approx (1.0, 1.0)\)，与 \(x^{(2)}\) 相同，约束满足。
此时 \(\|x^{(3)} - x^{(2)}\| = 0 < \epsilon\)，算法终止。

4. 结果分析
最终解 \(x^* = (1.0, 1.0)\)，目标函数值 \(f(x^*) = 1.0\)。
该点满足所有约束，且为全局最优解（通过一阶必要性条件验证）。
自适应惩罚函数法通过动态增加 \(\mu\)，有效平衡了目标函数优化与约束满足的权衡。

非线性规划中的自适应惩罚函数法基础题题目描述考虑非线性规划问题：最小化目标函数 \( f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) 约束条件为： \( g_ 1(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \) \( g_ 2(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \leq 0 \) 初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，允许误差 \( \epsilon = 10^{-3} \)。要求使用自适应惩罚函数法求解该问题，通过动态调整惩罚权重使迭代收敛到约束最优解。解题过程自适应惩罚函数法的核心思想是：将约束违反程度融入目标函数，形成惩罚函数 \( P(x, \mu) \)，并随着迭代动态调整惩罚权重 \( \mu \)，使解逐渐逼近可行域。具体步骤如下： 1. 构造自适应惩罚函数定义约束违反量 \( V(x) = \sum_ {i=1}^{2} \max(0, g_ i(x)) \)，即所有违反约束的正值之和。惩罚函数为 \( P(x, \mu) = f(x) + \mu \cdot V(x)^2 \)（使用平方惩罚增强敏感度）。初始权重 \( \mu^{(0)} = 1 \)，权重更新公式：\( \mu^{(k+1)} = \beta \cdot \mu^{(k)} \)，其中 \( \beta > 1 \)（例如 \( \beta = 2 \)）。 2. 迭代求解无约束子问题步骤 2.1：初始化设 \( k = 0 \)，\( x^{(0)} = (0, 0) \)，\( \mu^{(0)} = 1 \)，\( \beta = 2 \)。计算初始约束违反量： \( V(x^{(0)}) = \max(0, 0+0-2) + \max(0, 0-0) = 2 + 0 = 2 \)。步骤 2.2：求解当前惩罚函数的最小值当前子问题：最小化 \( P(x, \mu^{(k)}) = (x_ 1-2)^2 + (x_ 2-1)^2 + \mu^{(k)} \cdot V(x)^2 \)。使用梯度下降法（或牛顿法）求解：梯度计算： \( \nabla P = \left[ 2(x_ 1-2) + 2\mu^{(k)} V(x) \cdot \frac{\partial V}{\partial x_ 1}, \quad 2(x_ 2-1) + 2\mu^{(k)} V(x) \cdot \frac{\partial V}{\partial x_ 2} \right ] \) 其中 \( \frac{\partial V}{\partial x_ 1} = \mathbf{1} {g_ 1>0} + 2x_ 1 \cdot \mathbf{1} {g_ 2>0} \)（\( \mathbf{1}_ {g_ i>0} \) 为示性函数，当约束违反时取 1）。以 \( k=0 \) 为例：在 \( x^{(0)} \) 处，\( g_ 1 > 0 \)，\( g_ 2 \leq 0 \)，故 \( \frac{\partial V}{\partial x_ 1} = 1 \)，\( \frac{\partial V}{\partial x_ 2} = 1 \)。梯度下降更新：\( x^{(1)} = x^{(0)} - \alpha \nabla P \)，步长 \( \alpha \) 通过线搜索确定。经多次梯度下降迭代后，得到 \( \mu^{(0)} \) 下的近似解 \( x^{(1)} \approx (0.8, 0.5) \)。步骤 2.3：检查收敛条件计算约束违反量 \( V(x^{(k)}) \)。若 \( V(x^{(k)}) < \epsilon \) 且连续两次迭代解的变化 \( \|x^{(k)} - x^{(k-1)}\| < \epsilon \)，则停止；否则进入下一步。步骤 2.4：更新惩罚权重令 \( \mu^{(k+1)} = \beta \cdot \mu^{(k)} \)，\( k = k+1 \)，返回步骤 2.2。 3. 迭代过程示例迭代 1 （\( \mu^{(0)}=1 \)）：子问题解 \( x^{(1)} \approx (0.8, 0.5) \)，\( V(x^{(1)}) \approx 0.3 \)（轻微违反 \( g_ 1 \)）。不满足收敛条件，更新 \( \mu^{(1)} = 2 \)。迭代 2 （\( \mu^{(1)}=2 \)）：重新最小化 \( P(x, 2) \)，解 \( x^{(2)} \approx (1.0, 1.0) \)，\( V(x^{(2)}) = 0 \)（完全可行）。检查收敛：\( V(x^{(2)}) = 0 < \epsilon \)，且 \( \|x^{(2)} - x^{(1)}\| \approx 0.36 > \epsilon \)，需继续迭代。迭代 3 （\( \mu^{(2)}=4 \)）：解 \( x^{(3)} \approx (1.0, 1.0) \)，与 \( x^{(2)} \) 相同，约束满足。此时 \( \|x^{(3)} - x^{(2)}\| = 0 < \epsilon \)，算法终止。 4. 结果分析最终解 \( x^* = (1.0, 1.0) \)，目标函数值 \( f(x^* ) = 1.0 \)。该点满足所有约束，且为全局最优解（通过一阶必要性条件验证）。自适应惩罚函数法通过动态增加 \( \mu \)，有效平衡了目标函数优化与约束满足的权衡。