非线性规划中的广义简约梯度法(GRG)基础题
字数 3736 2025-10-27 12:20:21

非线性规划中的广义简约梯度法(GRG)基础题

题目描述：
考虑一个带有非线性等式约束的非线性规划问题：
最小化目标函数 \(f(x)1, x_2) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2\)
满足约束条件：\(h(x_1, x_2) = x_1^2 - x_2 = 0\)
且满足边界约束：\(x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\)
初始点取为可行点 \(x^{(0)} = (1, 1)\)。

请使用广义简约梯度法(GRG)进行一次完整的迭代计算，求出下一个迭代点 \(x^{(1)}\)。

解题过程：

广义简约梯度法是处理非线性等式约束和边界约束的有效算法。其核心思想是将变量分为基本变量和非基本变量，在约束曲面上寻找使目标函数下降的方向。

第一步：变量划分与初始化

  1. 在初始点 \(x^{(0)} = (1, 1)\)，验证可行性：

    • 等式约束：\(h(1,1) = 1^2 - 1 = 0\)，满足。
    • 边界约束：\(x_1 = 1 \geq 0, x_2 = 1 \geq 0\)，满足。

  2. 变量划分：

    • 我们需要将变量划分为基本变量 \(x_B\) 和非基本变量 \(x_N\)。
    • 选择原则：使得约束雅可比矩阵 \(\nabla h(x)^T\) 中对应于 \(x_B\) 的部分非奇异。
    • 计算约束梯度：\(\nabla h(x) = [2x_1, -1]^T\)。
    • 在点 (1,1)：\(\nabla h(1,1) = [2, -1]^T\)。
    • 两个分量均不为零，均可选为基本变量。我们选择 \(x_2\) 为基本变量 \(x_B\)，\(x_1\) 为非基本变量 \(x_N\)。因为 \(\partial h / \partial x_2 = -1 \neq 0\)，确保子矩阵非奇异。

第二步：计算简约梯度

  1. 计算目标函数的梯度：
    \(\nabla f(x) = [2(x_1 - 2), 2(x_2 - 1)]^T\)。
    在点 (1,1)：\(\nabla f(1,1) = [2(1-2), 2(1-1)]^T = [-2, 0]^T\)。
    因此，\(\nabla_N f = -2\)（对应于 \(x_1\)），\(\nabla_B f = 0\)（对应于 \(x_2\)）。

  2. 计算约束雅可比矩阵的分块：
    \(A_N = \partial h / \partial x_N = \partial h / \partial x_1 = 2x_1\)。在点 (1,1)：\(A_N = 2\)。
    \(A_B = \partial h / \partial x_B = \partial h / \partial x_2 = -1\)。在点 (1,1)：\(A_B = -1\)。

  3. 计算简约梯度 \(r\)：
    公式：\(r = \nabla_N f - (A_N A_B^{-1})^T \nabla_B f\)。

    • 首先计算 \(A_B^{-1} = -1\)。
    • 然后计算 \(A_N A_B^{-1} = 2 \times (-1) = -2\)。
    • 最后，\(r = (-2) - (-2) \times 0 = -2\)。

第三步：确定搜索方向

  1. 非基本变量的搜索方向 \(d_N\)：

    • 对于非基本变量，其搜索方向通常取为负的简约梯度，即 \(d_N = -r\)。
    • 但是，必须考虑边界约束。当前 \(x_1 = 1 > 0\)，不在边界上。
    • 因此，\(d_N = -(-2) = 2\)。

  2. 基本变量的搜索方向 \(d_B\)：

    • 为了保持在由约束 \(h(x)=0\) 定义的可行域上移动，需要计算 \(d_B\)。
    • 公式：\(d_B = -A_B^{-1} A_N d_N\)。
    • 代入数值：\(d_B = -(-1)^{-1} \times 2 \times 2 = -( -1 ) \times 4 = 4\)。
    • （注意：\(A_B^{-1} = -1\)，所以 \(-A_B^{-1} = -(-1) = 1\)）

  3. 完整搜索方向：
    \(d = (d_N, d_B) = (2, 4)\)。

第四步：进行一维线搜索

  1. 新的点可表示为：\(x(\alpha) = x^{(0)} + \alpha d = (1 + 2\alpha, 1 + 4\alpha)\)，其中 \(\alpha > 0\) 是步长。

  2. 将 \(x(\alpha)\) 代入约束方程，求解 \(\alpha\) 以重新满足可行性（对于非线性约束，通常需要进行校正）：

    • 约束为 \(h(x(\alpha)) = (1+2\alpha)^2 - (1+4\alpha) = 0\)。
    • 展开：\(1 + 4\alpha + 4\alpha^2 - 1 - 4\alpha = 4\alpha^2 = 0\)。
    • 解得 \(\alpha = 0\)。这表明沿该方向一步后，约束不再满足，因为约束是非线性的。搜索方向 \(d\) 是约束在初始点处的切平面方向，但沿直线移动会离开非线性约束曲面。

  3. 广义简约梯度法的标准步骤：
    a) 先沿搜索方向 \(d\) 进行试探步（预测步），取一个步长 \(\alpha_k\)（例如 \(\alpha_k = 1\)）。

    • 令 \(\alpha = 1\)，预测点 \(\tilde{x} = (1+2*1, 1+4*1) = (3, 5)\)。
    • 检查约束：\(h(3,5) = 9 - 5 = 4 \neq 0\)。不可行。

    b) 进行校正步（校正步）：从预测点 \(\tilde{x}\) 出发，固定非基本变量 \(x_1 = 3\)，通过求解非线性方程 \(h(3, x_2) = 0\) 来修正基本变量 \(x_2\)，使其重新满足约束。

    • 方程：\(3^2 - x_2 = 0\) -> \(9 - x_2 = 0\) -> \(x_2 = 9\)。
    • 得到校正后的点 \(x_c = (3, 9)\)。此点满足等式约束。

  4. 计算校正后点的函数值：\(f(x_c) = (3-2)^2 + (9-1)^2 = 1 + 64 = 65\)。

    • 初始点函数值：\(f(x^{(0)}) = (1-2)^2 + (1-1)^2 = 1 + 0 = 1\)。
    • 函数值增大，说明步长 \(\alpha=1\) 可能太大。

  5. 通常需要一维线搜索来确定最优步长 \(\alpha\)，使得在经校正步回到可行域后，目标函数 \(f(x(\alpha))\) 尽可能小。这是一个复杂的过程，因为 \(x(\alpha)\) 是隐式定义的。在实际算法中，可能会使用一种非精确搜索。

第五步：迭代结果

为了完成一次迭代的演示，我们通常不会直接取 \(\alpha=1\)。一个更合理的方法是尝试一个较小的步长。

  1. 尝试步长 \(\alpha = 0.5\)：

    • 预测点：\(\tilde{x} = (1+2*0.5, 1+4*0.5) = (2, 3)\)。
    • 校正步：固定 \(x_1=2\)，解方程 \(2^2 - x_2 = 0\) -> \(4 - x_2 = 0\) -> \(x_2 = 4\)。
    • 校正点 \(x_c = (2, 4)\)。
    • 函数值：\(f(2,4) = (2-2)^2 + (4-1)^2 = 0 + 9 = 9\)。
    • 相比初始值1，仍然增大。

  2. 尝试步长 \(\alpha = 0.1\)：

    • 预测点：\(\tilde{x} = (1+2*0.1, 1+4*0.1) = (1.2, 1.4)\)。
    • 校正步：固定 \(x_1=1.2\)，解方程 \((1.2)^2 - x_2 = 0\) -> \(1.44 - x_2 = 0\) -> \(x_2 = 1.44\)。
    • 校正点 \(x_c = (1.2, 1.44)\)。
    • 函数值：\(f(1.2, 1.44) = (1.2-2)^2 + (1.44-1)^2 = (-0.8)^2 + (0.44)^2 = 0.64 + 0.1936 = 0.8336\)。
    • 相比初始值1，函数值下降。

因此，经过一次广义简约梯度法迭代（包含预测步和校正步），若选择步长 \(\alpha = 0.1\)，我们得到下一个迭代点 \(x^{(1)} = (1.2, 1.44)\)。在实际算法中，步长 \(\alpha\) 会通过更系统的线搜索确定。

非线性规划中的广义简约梯度法(GRG)基础题 题目描述 ： 考虑一个带有非线性等式约束的非线性规划问题： 最小化目标函数 \( f(x)1, x_ 2) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) 满足约束条件：\( h(x_ 1, x_ 2) = x_ 1^2 - x_ 2 = 0 \) 且满足边界约束：\( x_ 1 \geq 0, x_ 2 \geq 0 \) 初始点取为可行点 \( x^{(0)} = (1, 1) \)。 请使用广义简约梯度法(GRG)进行一次完整的迭代计算，求出下一个迭代点 \( x^{(1)} \)。 解题过程 ： 广义简约梯度法是处理非线性等式约束和边界约束的有效算法。其核心思想是将变量分为基本变量和非基本变量，在约束曲面上寻找使目标函数下降的方向。 第一步：变量划分与初始化 在初始点 \( x^{(0)} = (1, 1) \)，验证可行性： 等式约束：\( h(1,1) = 1^2 - 1 = 0 \)，满足。 边界约束：\( x_ 1 = 1 \geq 0, x_ 2 = 1 \geq 0 \)，满足。 变量划分： 我们需要将变量划分为基本变量 \( x_ B \) 和非基本变量 \( x_ N \)。 选择原则：使得约束雅可比矩阵 \( \nabla h(x)^T \) 中对应于 \( x_ B \) 的部分非奇异。 计算约束梯度：\( \nabla h(x) = [ 2x_ 1, -1 ]^T \)。 在点 (1,1)：\( \nabla h(1,1) = [ 2, -1 ]^T \)。 两个分量均不为零，均可选为基本变量。我们选择 \( x_ 2 \) 为基本变量 \( x_ B \)，\( x_ 1 \) 为非基本变量 \( x_ N \)。因为 \( \partial h / \partial x_ 2 = -1 \neq 0 \)，确保子矩阵非奇异。 第二步：计算简约梯度 计算目标函数的梯度： \( \nabla f(x) = [ 2(x_ 1 - 2), 2(x_ 2 - 1) ]^T \)。 在点 (1,1)：\( \nabla f(1,1) = [ 2(1-2), 2(1-1)]^T = [ -2, 0 ]^T \)。 因此，\( \nabla_ N f = -2 \)（对应于 \( x_ 1 \)），\( \nabla_ B f = 0 \)（对应于 \( x_ 2 \)）。 计算约束雅可比矩阵的分块： \( A_ N = \partial h / \partial x_ N = \partial h / \partial x_ 1 = 2x_ 1 \)。在点 (1,1)：\( A_ N = 2 \)。 \( A_ B = \partial h / \partial x_ B = \partial h / \partial x_ 2 = -1 \)。在点 (1,1)：\( A_ B = -1 \)。 计算简约梯度 \( r \)： 公式：\( r = \nabla_ N f - (A_ N A_ B^{-1})^T \nabla_ B f \)。 首先计算 \( A_ B^{-1} = -1 \)。 然后计算 \( A_ N A_ B^{-1} = 2 \times (-1) = -2 \)。 最后，\( r = (-2) - (-2) \times 0 = -2 \)。 第三步：确定搜索方向 非基本变量的搜索方向 \( d_ N \)： 对于非基本变量，其搜索方向通常取为负的简约梯度，即 \( d_ N = -r \)。 但是，必须考虑边界约束。当前 \( x_ 1 = 1 > 0 \)，不在边界上。 因此，\( d_ N = -(-2) = 2 \)。 基本变量的搜索方向 \( d_ B \)： 为了保持在由约束 \( h(x)=0 \) 定义的可行域上移动，需要计算 \( d_ B \)。 公式：\( d_ B = -A_ B^{-1} A_ N d_ N \)。 代入数值：\( d_ B = -(-1)^{-1} \times 2 \times 2 = -( -1 ) \times 4 = 4 \)。 （注意：\( A_ B^{-1} = -1 \)，所以 \( -A_ B^{-1} = -(-1) = 1 \)） 完整搜索方向： \( d = (d_ N, d_ B) = (2, 4) \)。 第四步：进行一维线搜索 新的点可表示为：\( x(\alpha) = x^{(0)} + \alpha d = (1 + 2\alpha, 1 + 4\alpha) \)，其中 \( \alpha > 0 \) 是步长。 将 \( x(\alpha) \) 代入约束方程，求解 \( \alpha \) 以重新满足可行性（对于非线性约束，通常需要进行校正）： 约束为 \( h(x(\alpha)) = (1+2\alpha)^2 - (1+4\alpha) = 0 \)。 展开：\( 1 + 4\alpha + 4\alpha^2 - 1 - 4\alpha = 4\alpha^2 = 0 \)。 解得 \( \alpha = 0 \)。这表明沿该方向一步后，约束不再满足，因为约束是非线性的。搜索方向 \( d \) 是约束在初始点处的切平面方向，但沿直线移动会离开非线性约束曲面。 广义简约梯度法的标准步骤： a) 先沿搜索方向 \( d \) 进行试探步（预测步），取一个步长 \( \alpha_ k \)（例如 \( \alpha_ k = 1 \)）。 令 \( \alpha = 1 \)，预测点 \( \tilde{x} = (1+2 1, 1+4 1) = (3, 5) \)。 检查约束：\( h(3,5) = 9 - 5 = 4 \neq 0 \)。不可行。 b) 进行校正步（校正步）：从预测点 \( \tilde{x} \) 出发，固定非基本变量 \( x_ 1 = 3 \)，通过求解非线性方程 \( h(3, x_ 2) = 0 \) 来修正基本变量 \( x_ 2 \)，使其重新满足约束。 方程：\( 3^2 - x_ 2 = 0 \) -> \( 9 - x_ 2 = 0 \) -> \( x_ 2 = 9 \)。 得到校正后的点 \( x_ c = (3, 9) \)。此点满足等式约束。 计算校正后点的函数值：\( f(x_ c) = (3-2)^2 + (9-1)^2 = 1 + 64 = 65 \)。 初始点函数值：\( f(x^{(0)}) = (1-2)^2 + (1-1)^2 = 1 + 0 = 1 \)。 函数值增大，说明步长 \( \alpha=1 \) 可能太大。 通常需要一维线搜索来确定最优步长 \( \alpha \)，使得在经校正步回到可行域后，目标函数 \( f(x(\alpha)) \) 尽可能小。这是一个复杂的过程，因为 \( x(\alpha) \) 是隐式定义的。在实际算法中，可能会使用一种非精确搜索。 第五步：迭代结果 为了完成一次迭代的演示，我们通常不会直接取 \( \alpha=1 \)。一个更合理的方法是尝试一个较小的步长。 尝试步长 \( \alpha = 0.5 \)： 预测点：\( \tilde{x} = (1+2 0.5, 1+4 0.5) = (2, 3) \)。 校正步：固定 \( x_ 1=2 \)，解方程 \( 2^2 - x_ 2 = 0 \) -> \( 4 - x_ 2 = 0 \) -> \( x_ 2 = 4 \)。 校正点 \( x_ c = (2, 4) \)。 函数值：\( f(2,4) = (2-2)^2 + (4-1)^2 = 0 + 9 = 9 \)。 相比初始值1，仍然增大。 尝试步长 \( \alpha = 0.1 \)： 预测点：\( \tilde{x} = (1+2 0.1, 1+4 0.1) = (1.2, 1.4) \)。 校正步：固定 \( x_ 1=1.2 \)，解方程 \( (1.2)^2 - x_ 2 = 0 \) -> \( 1.44 - x_ 2 = 0 \) -> \( x_ 2 = 1.44 \)。 校正点 \( x_ c = (1.2, 1.44) \)。 函数值：\( f(1.2, 1.44) = (1.2-2)^2 + (1.44-1)^2 = (-0.8)^2 + (0.44)^2 = 0.64 + 0.1936 = 0.8336 \)。 相比初始值1，函数值下降。 因此，经过一次广义简约梯度法迭代（包含预测步和校正步），若选择步长 \( \alpha = 0.1 \)，我们得到下一个迭代点 \( x^{(1)} = (1.2, 1.44) \)。在实际算法中，步长 \( \alpha \) 会通过更系统的线搜索确定。