非线性规划中的内点法基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = x₁² + 2x₂² 满足约束条件： x₁ + x₂ ≥ 1 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 这是一个简单的凸二次规划问题，目标函数是严格凸的二次函数，约束条件为线性不等式。要求使用内点法求解该问题，通过构造障碍函数将约束问题转化为无约束问题，并分析求解过程。 解题过程 1. 问题重构与障碍函数引入 内点法的核心思想是通过障碍函数将约束条件融入目标函数，使搜索点始终保持在可行域内部。对于不等式约束x₁ + x₂ ≥ 1和x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0，我们引入障碍函数： 原始问题等价于求解一系列无约束优化问题： min φ(x, μ) = f(x) - μ[ ln(x₁ + x₂ - 1) + ln(x₁) + ln(x₂) ] 其中μ > 0是障碍参数。 2. 障碍函数性质分析 当x接近可行域边界时，障碍函数值会急剧增大，从而阻止迭代点越界。随着μ逐渐减小到0，障碍函数的影响减弱，无约束问题的最优解会逼近原约束问题的最优解。 3. 最优性条件推导 对障碍函数求梯度并令其为0： ∂φ/∂x₁ = 2x₁ - μ/(x₁ + x₂ - 1) - μ/x₁ = 0 ∂φ/∂x₂ = 4x₂ - μ/(x₁ + x₂ - 1) - μ/x₂ = 0 4. 迭代求解过程 (1) 选择初始点：取严格内点x⁰ = (1, 1)，满足x₁ + x₂ > 1, x₁ > 0, x₂ > 0 (2) 设定初始障碍参数μ₀ = 1，衰减因子σ = 0.1 (3) 对于每个μ值，求解无约束优化问题： 使用牛顿法求解非线性方程组 梯度：∇φ(x, μ) = [ 2x₁ - μ/(x₁+x₂-1) - μ/x₁, 4x₂ - μ/(x₁+x₂-1) - μ/x₂ ]ᵀ 海森矩阵：H = [ [ 2 + μ/(x₁+x₂-1)² + μ/x₁², μ/(x₁+x₂-1)² ], [ μ/(x₁+x₂-1)², 4 + μ/(x₁+x₂-1)² + μ/x₂²] ] 5. 数值迭代示例 第一次迭代(μ=1)： 在x⁰=(1,1)处计算梯度：∇φ = [ 2-1/1-1/1, 4-1/1-1/1]ᵀ = [ 0, 2 ]ᵀ 牛顿方向：d = -H⁻¹∇φ 通过3-4次牛顿迭代可得μ=1时的近似解：x* ≈ (0.8, 0.6) 更新μ：μ₁ = σμ₀ = 0.1 6. 收敛性分析 重复上述过程，随着μ→0，序列解收敛到原问题最优解。通过KKT条件验证，最优解为x* = (2/3, 1/3)，对应目标函数值f(x* ) = (2/3)² + 2×(1/3)² = 2/3。 7. 算法特性总结 内点法通过障碍函数保证迭代点始终严格可行，具有全局收敛性。对于凸规划问题，能保证收敛到全局最优解。障碍参数μ的选择和衰减策略对收敛速度有重要影响。