非线性规划中的随机拟牛顿法基础题

字数 3019 2025-10-27 12:20:21

非线性规划中的随机拟牛顿法基础题

题目描述

考虑一个二维无约束非线性优化问题：最小化目标函数 \(f(x) = x_1^4 + 2x_2^2 - x_1 x_2 + 3x_1\)，其中 \(x = [x_1, x_2]^T\)。初始点设为 \(x^{(0)} = [0, 0]^T\)。要求使用随机拟牛顿法（Stochastic Quasi-Newton Method）来求解该问题。该方法在标准拟牛顿法的基础上，通过随机采样梯度信息来近似海森矩阵（Hessian Matrix）的逆，适用于梯度计算成本高或问题规模大的场景。本题中，我们将模拟梯度采样过程，并展示算法的迭代步骤。

解题过程

算法原理简述
- 拟牛顿法（如BFGS）通过迭代更新海森矩阵逆的近似矩阵 \(H_k\)，避免直接计算海森矩阵。其更新公式依赖于当前点 \(x^{(k)}\) 和梯度 \(\nabla f(x^{(k)})\)。
- 随机拟牛顿法引入随机性：在每次迭代中，不计算精确梯度，而是通过随机采样（如随机向量 \(\xi\)）构建梯度估计 \(g_k \approx \nabla f(x^{(k)})\)。例如，使用有限差分近似：\(g_k = \frac{f(x^{(k)} + \epsilon \xi) - f(x^{(k)})}{\epsilon} \xi\)，其中 \(\epsilon\) 为小常数（如 \(10^{-5}\)），\(\xi\) 为随机单位向量。
- 步骤：
  - 随机采样生成梯度估计 \(g_k\)。
  - 计算搜索方向 \(d_k = -H_k g_k\)。
  - 执行线搜索确定步长 \(\alpha_k\)（如Armijo条件）。
  - 更新迭代点 \(x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha_k d_k\)。
  - 用随机采样的梯度差更新 \(H_k\)（BFGS更新公式）。
问题初始化
- 目标函数：\(f(x) = x_1^4 + 2x_2^2 - x_1 x_2 + 3x_1\)。
- 初始点：\(x^{(0)} = [0, 0]^T\)。
- 初始海森逆近似：\(H_0 = I\)（单位矩阵）。
- 参数设置：采样噪声尺度 \(\epsilon = 10^{-5}\)，线搜索参数 \(\beta = 0.5\)，\(\sigma = 0.1\)（Armijo条件）。
迭代步骤（以第1轮迭代为例）
- 步骤1: 随机梯度估计
  - 生成随机单位向量 \(\xi = [0.6, 0.8]^T\)（示例值）。
  - 计算扰动点函数值：\(f(x^{(0)} + \epsilon \xi) = f([0.6 \times 10^{-5}, 0.8 \times 10^{-5}]) \approx f([0, 0]) = 0\)（因 \(\epsilon\) 极小，扰动可忽略）。
  - 梯度估计：\(g_0 = \frac{f(x^{(0)} + \epsilon \xi) - f(x^{(0)})}{\epsilon} \xi \approx [0, 0]^T\)。
  - 注：实际中需高精度计算，这里为展示，后续用精确梯度加入噪声模拟随机性。
- 步骤2: 计算搜索方向
  - \(d_0 = -H_0 g_0 = -I \cdot [0, 0]^T = [0, 0]^T\)。
  - 若梯度估计为零，需重新采样。假设重采样后 \(g_0 = [2.9, 0.1]^T\)（模拟精确梯度 \(\nabla f(0,0) = [3, 0]^T\) 加入小噪声）。
  - 则 \(d_0 = -I \cdot [2.9, 0.1]^T = [-2.9, -0.1]^T\).
- 步骤3: 线搜索（Armijo规则）
  - 尝试步长 \(\alpha = 1\)：\(f(x^{(0)} + \alpha d_0) = f(-2.9, -0.1) \approx (-2.9)^4 + 2(-0.1)^2 - (-2.9)(-0.1) + 3(-2.9) = 70.56 + 0.02 - 0.29 - 8.7 = 61.59\)。
  - 初始 \(f(x^{(0)}) = 0\)。Armijo条件：\(f(x + \alpha d) \leq f(x) + \sigma \alpha g^T d\)。
    - 右侧：\(0 + 0.1 \times 1 \times [2.9, 0.1] \cdot [-2.9, -0.1] = 0.1 \times (-8.41 - 0.01) = -0.842\)。
    - 左侧 \(61.59 > -0.842\)，条件不满足。
  - 缩减步长：\(\alpha = 0.5\)，重复直至满足条件（例如 \(\alpha = 0.1\) 时可能满足）。
- 步骤4: 更新迭代点
  - 假设 \(\alpha_0 = 0.1\) 满足条件，则 \(x^{(1)} = [0, 0]^T + 0.1 \cdot [-2.9, -0.1]^T = [-0.29, -0.01]^T\).
- 步骤5: 更新海森逆近似 \(H_k\)（BFGS公式）
  - 采样新梯度估计 \(g_1 \approx \nabla f(x^{(1)})\)（如 \([1.5, -0.3]^T\)）。
  - 计算梯度差 \(y_0 = g_1 - g_0 \approx [1.5, -0.3]^T - [2.9, 0.1]^T = [-1.4, -0.4]^T\)。
  - 参数 \(s_0 = x^{(1)} - x^{(0)} = [-0.29, -0.01]^T\)。
  - BFGS更新：\(H_1 = \left(I - \frac{s_0 y_0^T}{y_0^T s_0}\right) H_0 \left(I - \frac{y_0 s_0^T}{y_0^T s_0}\right) + \frac{s_0 s_0^T}{y_0^T s_0}\)。
    - 计算 \(y_0^T s_0 = [-1.4, -0.4] \cdot [-0.29, -0.01] = 0.406 + 0.004 = 0.41\)。
    - 代入公式更新 \(H_1\)。
迭代终止
- 重复以上步骤，直到梯度估计的范数 \(\|g_k\| < 10^{-3}\) 或达到最大迭代次数。
- 最终解应接近理论极小点（通过求导 \(\nabla f(x) = [4x_1^3 - x_2 + 3, 4x_2 - x_1]^T = 0\)，解得 \(x^* \approx [-0.9, -0.225]^T\)）。

关键点总结

随机拟牛顿法通过随机梯度估计降低计算成本，但引入噪声可能影响收敛速度。
线搜索确保目标函数下降，BFGS更新保持海森逆的正定性和近似精度。
本题中，通过模拟随机采样展示了算法流程，实际应用需根据问题调整采样策略和参数。

非线性规划中的随机拟牛顿法基础题题目描述考虑一个二维无约束非线性优化问题：最小化目标函数 \( f(x) = x_ 1^4 + 2x_ 2^2 - x_ 1 x_ 2 + 3x_ 1 \)，其中 \( x = [ x_ 1, x_ 2]^T \)。初始点设为 \( x^{(0)} = [ 0, 0 ]^T \)。要求使用随机拟牛顿法（Stochastic Quasi-Newton Method）来求解该问题。该方法在标准拟牛顿法的基础上，通过随机采样梯度信息来近似海森矩阵（Hessian Matrix）的逆，适用于梯度计算成本高或问题规模大的场景。本题中，我们将模拟梯度采样过程，并展示算法的迭代步骤。解题过程算法原理简述拟牛顿法（如BFGS）通过迭代更新海森矩阵逆的近似矩阵 \( H_ k \)，避免直接计算海森矩阵。其更新公式依赖于当前点 \( x^{(k)} \) 和梯度 \( \nabla f(x^{(k)}) \)。随机拟牛顿法引入随机性：在每次迭代中，不计算精确梯度，而是通过随机采样（如随机向量 \( \xi \)）构建梯度估计 \( g_ k \approx \nabla f(x^{(k)}) \)。例如，使用有限差分近似：\( g_ k = \frac{f(x^{(k)} + \epsilon \xi) - f(x^{(k)})}{\epsilon} \xi \)，其中 \( \epsilon \) 为小常数（如 \( 10^{-5} \)），\( \xi \) 为随机单位向量。步骤：随机采样生成梯度估计 \( g_ k \)。计算搜索方向 \( d_ k = -H_ k g_ k \)。执行线搜索确定步长 \( \alpha_ k \)（如Armijo条件）。更新迭代点 \( x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha_ k d_ k \)。用随机采样的梯度差更新 \( H_ k \)（BFGS更新公式）。问题初始化目标函数：\( f(x) = x_ 1^4 + 2x_ 2^2 - x_ 1 x_ 2 + 3x_ 1 \)。初始点：\( x^{(0)} = [ 0, 0 ]^T \)。初始海森逆近似：\( H_ 0 = I \)（单位矩阵）。参数设置：采样噪声尺度 \( \epsilon = 10^{-5} \)，线搜索参数 \( \beta = 0.5 \)，\( \sigma = 0.1 \)（Armijo条件）。迭代步骤（以第1轮迭代为例）步骤1: 随机梯度估计生成随机单位向量 \( \xi = [ 0.6, 0.8 ]^T \)（示例值）。计算扰动点函数值：\( f(x^{(0)} + \epsilon \xi) = f([ 0.6 \times 10^{-5}, 0.8 \times 10^{-5}]) \approx f([ 0, 0 ]) = 0 \)（因 \( \epsilon \) 极小，扰动可忽略）。梯度估计：\( g_ 0 = \frac{f(x^{(0)} + \epsilon \xi) - f(x^{(0)})}{\epsilon} \xi \approx [ 0, 0 ]^T \)。注：实际中需高精度计算，这里为展示，后续用精确梯度加入噪声模拟随机性。步骤2: 计算搜索方向 \( d_ 0 = -H_ 0 g_ 0 = -I \cdot [ 0, 0]^T = [ 0, 0 ]^T \)。若梯度估计为零，需重新采样。假设重采样后 \( g_ 0 = [ 2.9, 0.1]^T \)（模拟精确梯度 \( \nabla f(0,0) = [ 3, 0 ]^T \) 加入小噪声）。则 \( d_ 0 = -I \cdot [ 2.9, 0.1]^T = [ -2.9, -0.1 ]^T \). 步骤3: 线搜索（Armijo规则）尝试步长 \( \alpha = 1 \)：\( f(x^{(0)} + \alpha d_ 0) = f(-2.9, -0.1) \approx (-2.9)^4 + 2(-0.1)^2 - (-2.9)(-0.1) + 3(-2.9) = 70.56 + 0.02 - 0.29 - 8.7 = 61.59 \)。初始 \( f(x^{(0)}) = 0 \)。Armijo条件：\( f(x + \alpha d) \leq f(x) + \sigma \alpha g^T d \)。右侧：\( 0 + 0.1 \times 1 \times [ 2.9, 0.1] \cdot [ -2.9, -0.1 ] = 0.1 \times (-8.41 - 0.01) = -0.842 \)。左侧 \( 61.59 > -0.842 \)，条件不满足。缩减步长：\( \alpha = 0.5 \)，重复直至满足条件（例如 \( \alpha = 0.1 \) 时可能满足）。步骤4: 更新迭代点假设 \( \alpha_ 0 = 0.1 \) 满足条件，则 \( x^{(1)} = [ 0, 0]^T + 0.1 \cdot [ -2.9, -0.1]^T = [ -0.29, -0.01 ]^T \). 步骤5: 更新海森逆近似 \( H_ k \)（BFGS公式）采样新梯度估计 \( g_ 1 \approx \nabla f(x^{(1)}) \)（如 \( [ 1.5, -0.3 ]^T \)）。计算梯度差 \( y_ 0 = g_ 1 - g_ 0 \approx [ 1.5, -0.3]^T - [ 2.9, 0.1]^T = [ -1.4, -0.4 ]^T \)。参数 \( s_ 0 = x^{(1)} - x^{(0)} = [ -0.29, -0.01 ]^T \)。 BFGS更新：\( H_ 1 = \left(I - \frac{s_ 0 y_ 0^T}{y_ 0^T s_ 0}\right) H_ 0 \left(I - \frac{y_ 0 s_ 0^T}{y_ 0^T s_ 0}\right) + \frac{s_ 0 s_ 0^T}{y_ 0^T s_ 0} \)。计算 \( y_ 0^T s_ 0 = [ -1.4, -0.4] \cdot [ -0.29, -0.01 ] = 0.406 + 0.004 = 0.41 \)。代入公式更新 \( H_ 1 \)。迭代终止重复以上步骤，直到梯度估计的范数 \( \|g_ k\| < 10^{-3} \) 或达到最大迭代次数。最终解应接近理论极小点（通过求导 \( \nabla f(x) = [ 4x_ 1^3 - x_ 2 + 3, 4x_ 2 - x_ 1]^T = 0 \)，解得 \( x^* \approx [ -0.9, -0.225 ]^T \)）。关键点总结随机拟牛顿法通过随机梯度估计降低计算成本，但引入噪声可能影响收敛速度。线搜索确保目标函数下降，BFGS更新保持海森逆的正定性和近似精度。本题中，通过模拟随机采样展示了算法流程，实际应用需根据问题调整采样策略和参数。