非线性规划中的混合整数非线性规划基础题

字数 1526 2025-10-27 11:27:25

非线性规划中的混合整数非线性规划基础题

题目描述：
考虑一个简单的混合整数非线性规划问题，其中包含连续变量和整数变量。目标是最小化非线性目标函数，同时满足线性和非线性约束。具体问题如下：

最小化 \(f(x, y) = (x - 1.5)^2 + (y - 2.5)^2\)
约束条件：

\(x + y \leq 4\) （线性约束）
\(x^2 + y^2 \geq 1\) （非线性约束）
\(x \geq 0, y \geq 0\) （变量非负约束）
\(x\) 为连续变量，\(y\) 为整数变量（即 \(y \in \mathbb{Z}^+\)）

解题过程：
混合整数非线性规划结合了连续优化和整数规划，通常使用分支定界法或外部逼近法求解。以下是详细步骤：

问题分析：
- 目标函数 \(f(x, y)\) 是凸二次函数，在无约束时最小点为 \((1.5, 2.5)\)。
- 约束1是线性不等式，约束2是非线性非凸约束（因“≥”方向），变量y需取整数值。
- 问题本质是找到整数y的取值，使连续变量x在约束下最小化目标函数。
松弛子问题：
- 忽略y的整数约束，将问题转化为连续非线性规划（NLP）问题：
  最小化 \(f(x, y) = (x - 1.5)^2 + (y - 2.5)^2\)
  约束：\(x + y \leq 4\), \(x^2 + y^2 \geq 1\), \(x \geq 0, y \geq 0\)。
- 使用序列二次规划法求解该松弛问题，得到解 \((x^*, y^*)\) 和目标值下界 \(f^*\)。
  - 初始点选为 \((0, 0)\)，通过迭代线性化约束并求解二次规划子问题，最终得松弛解约 \((1.0, 2.236)\)，但约束2要求 \(y\) 整数，故需进一步处理。
分支定界框架：
- 以松弛解为根节点，目标值 \(f^*\) 作为全局下界。
- 分支策略：对非整数变量 \(y\) 分支。例如，松弛解中 \(y^* \approx 2.236\)，创建两个子问题：
  - 子问题1：添加约束 \(y \leq 2\)。
  - 子问题2：添加约束 \(y \geq 3\)。
- 每个子问题仍是NLP问题，需重新求解。
求解子问题：
- 子问题1（y ≤ 2）：
  - 最小化 \(f(x, y)\)，约束包括原约束及 \(y \leq 2\)。
  - 求解得 \(x \approx 1.5, y = 2\)，目标值 \(f = (1.5-1.5)^2 + (2-2.5)^2 = 0.25\)。
  - 由于y已为整数，该解可行，记录为候选解，全局上界更新为0.25。
- 子问题2（y ≥ 3）：
  - 添加约束 \(y \geq 3\)，结合原约束 \(x + y \leq 4\) 得 \(x \leq 1\)。
  - 求解得 \(x \approx 1.0, y = 3\)，目标值 \(f = (1-1.5)^2 + (3-2.5)^2 = 0.5\)。
  - 该解可行，但目标值0.5大于当前上界0.25，故被剪枝（因分支不会产生更优解）。
终止与输出：
- 所有分支被探索或剪枝后，最佳候选解为 \((x=1.5, y=2)\)，目标值0.25。
- 验证约束：\(x+y=3.5 \leq 4\), \(x^2+y^2=2.25+4=6.25 \geq 1\)，满足要求。

总结：通过松弛、分支和剪枝，将混合整数问题分解为连续子问题求解，逐步逼近整数最优解。此法适用于小规模问题，大规模时需结合启发式策略。

非线性规划中的混合整数非线性规划基础题题目描述：考虑一个简单的混合整数非线性规划问题，其中包含连续变量和整数变量。目标是最小化非线性目标函数，同时满足线性和非线性约束。具体问题如下：最小化 \( f(x, y) = (x - 1.5)^2 + (y - 2.5)^2 \) 约束条件： \( x + y \leq 4 \) （线性约束） \( x^2 + y^2 \geq 1 \) （非线性约束） \( x \geq 0, y \geq 0 \) （变量非负约束） \( x \) 为连续变量，\( y \) 为整数变量（即 \( y \in \mathbb{Z}^+ \)）解题过程：混合整数非线性规划结合了连续优化和整数规划，通常使用分支定界法或外部逼近法求解。以下是详细步骤：问题分析：目标函数 \( f(x, y) \) 是凸二次函数，在无约束时最小点为 \( (1.5, 2.5) \)。约束1是线性不等式，约束2是非线性非凸约束（因“≥”方向），变量y需取整数值。问题本质是找到整数y的取值，使连续变量x在约束下最小化目标函数。松弛子问题：忽略y的整数约束，将问题转化为连续非线性规划（NLP）问题：最小化 \( f(x, y) = (x - 1.5)^2 + (y - 2.5)^2 \) 约束：\( x + y \leq 4 \), \( x^2 + y^2 \geq 1 \), \( x \geq 0, y \geq 0 \)。使用序列二次规划法求解该松弛问题，得到解 \( (x^ , y^ ) \) 和目标值下界 \( f^* \)。初始点选为 \( (0, 0) \)，通过迭代线性化约束并求解二次规划子问题，最终得松弛解约 \( (1.0, 2.236) \)，但约束2要求 \( y \) 整数，故需进一步处理。分支定界框架：以松弛解为根节点，目标值 \( f^* \) 作为全局下界。分支策略：对非整数变量 \( y \) 分支。例如，松弛解中 \( y^* \approx 2.236 \)，创建两个子问题：子问题1：添加约束 \( y \leq 2 \)。子问题2：添加约束 \( y \geq 3 \)。每个子问题仍是NLP问题，需重新求解。求解子问题：子问题1（y ≤ 2）：最小化 \( f(x, y) \)，约束包括原约束及 \( y \leq 2 \)。求解得 \( x \approx 1.5, y = 2 \)，目标值 \( f = (1.5-1.5)^2 + (2-2.5)^2 = 0.25 \)。由于y已为整数，该解可行，记录为候选解，全局上界更新为0.25。子问题2（y ≥ 3）：添加约束 \( y \geq 3 \)，结合原约束 \( x + y \leq 4 \) 得 \( x \leq 1 \)。求解得 \( x \approx 1.0, y = 3 \)，目标值 \( f = (1-1.5)^2 + (3-2.5)^2 = 0.5 \)。该解可行，但目标值0.5大于当前上界0.25，故被剪枝（因分支不会产生更优解）。终止与输出：所有分支被探索或剪枝后，最佳候选解为 \( (x=1.5, y=2) \)，目标值0.25。验证约束：\( x+y=3.5 \leq 4 \), \( x^2+y^2=2.25+4=6.25 \geq 1 \)，满足要求。总结：通过松弛、分支和剪枝，将混合整数问题分解为连续子问题求解，逐步逼近整数最优解。此法适用于小规模问题，大规模时需结合启发式策略。