列生成算法在钢铁生产计划问题中的应用示例
字数 2586 2025-10-27 11:27:25

列生成算法在钢铁生产计划问题中的应用示例

题目描述
某钢铁厂生产多种型号的钢板（如厚度、宽度不同的板材），需根据客户订单制定生产计划。已知：

  • 订单需求：每种型号钢板的需求量（如型号A需10吨，型号B需15吨）。
  • 原材料钢卷：宽度固定为2000mm，可切割成不同宽度的小卷（如型号A需宽度1000mm，型号B需宽度800mm）。
  • 切割模式：一种切割模式指将原材料钢卷按特定方式切割成若干小卷（例如，模式1：切割出2卷1000mm宽的小卷；模式2：切割出1卷1000mm和1卷800mm宽的小卷）。
  • 目标：最小化使用的原材料钢卷总数，同时满足所有订单需求。

该问题可建模为线性规划问题，但切割模式组合极多（组合爆炸），直接枚举所有模式求解不可行。需使用列生成算法动态生成有价值的切割模式。

解题过程

步骤1：建立主问题模型

设：

  • \(D_i\)：型号 \(i\) 的需求量（\(i = 1, \dots, m\)）。
  • \(a_{ij}\)：切割模式 \(j\) 中型号 \(i\) 的产量（即该模式切割出的小卷数）。
  • \(x_j\)：使用切割模式 \(j\) 的次数（决策变量）。

主问题（Master Problem, MP）为：

\[\text{minimize} \quad \sum_{j} x_j \]

\[\text{subject to} \quad \sum_{j} a_{ij} x_j \geq D_i \quad \forall i, \quad x_j \geq 0. \]

由于模式 \(j\) 的数量庞大，初始仅包含少数模式（如简单模式：每种型号单独切割），构成限制主问题（Restricted Master Problem, RMP）。

步骤2：构造子问题（定价问题）

列生成的核心是通过子问题生成能改进目标的新模式。设 \(\pi_i\) 为RMP中需求约束的对偶变量（即型号 \(i\) 的边际成本）。子问题需找到一个新模式 \(a^*\)，使得其检验数（reduced cost）最小：

\[\text{minimize} \quad 1 - \sum_{i} \pi_i a_i \]

其中 \(a_i\) 为新模式中型号 \(i\) 的产量，且需满足切割的物理约束：

  • 原材料宽度 \(W = 2000mm\)，型号 \(i\) 的宽度为 \(w_i\)。
  • 切割需满足：\(\sum_{i} a_i w_i \leq W\)，且 \(a_i\) 为非负整数。

子问题实质是一个背包问题：选择整数 \(a_i\)，使总宽度不超过 \(W\)，且最小化 \(1 - \sum_i \pi_i a_i\)。

步骤3：迭代求解流程

  1. 初始化RMP：包含少量简单模式（如每个模式仅切割一种型号）。
  2. 求解RMP：得到最优解 \(x_j^*\) 和对偶变量 \(\pi_i^*\)。
  3. 求解子问题：
    • 若子问题目标值 \(\geq 0\)（即所有检验数非负），当前RMP已是最优，算法终止。
    • 若子问题目标值 \(< 0\)，则将新模式加入RMP。
  4. 重复步骤2-3直至收敛。

步骤4：具体数值示例

假设有两种型号：

  • 型号1：宽度 \(w_1 = 1000mm\)，需求 \(D_1 = 10\)。
  • 型号2：宽度 \(w_2 = 800mm\)，需求 \(D_2 = 15\)。

迭代1：

  • 初始模式：模式1（仅切1卷1000mm）、模式2（仅切1卷800mm）。
  • RMP：

\[\text{min} \quad x_1 + x_2 \quad \text{s.t.} \quad 1x_1 + 0x_2 \geq 10, \quad 0x_1 + 1x_2 \geq 15. \]

解：\(x_1 = 10, x_2 = 15\)，目标值25。对偶变量 \(\pi_1 = 1, \pi_2 = 1\)。

  • 子问题：最小化 \(1 - (1 \cdot a_1 + 1 \cdot a_2)\)，约束为 \(1000a_1 + 800a_2 \leq 2000\)。
    枚举可行解：
    • \(a_1 = 2, a_2 = 0\)：检验数 \(= 1 - 2 = -1\)。
    • \(a_1 = 1, a_2 = 1\)：检验数 \(= 1 - 2 = -1\)。
    • \(a_1 = 0, a_2 = 2\)：检验数 \(= 1 - 2 = -1\)。
      任选新模式（如 \(a_1 = 2, a_2 = 0\)）加入RMP。

迭代2：

  • RMP新增模式3（产量 \(a_1 = 2, a_2 = 0\)）：

\[\text{min} \quad x_1 + x_2 + x_3 \quad \text{s.t.} \quad 1x_1 + 0x_2 + 2x_3 \geq 10, \quad 0x_1 + 1x_2 + 0x_3 \geq 15. \]

解：\(x_1 = 0, x_2 = 15, x_3 = 5\)，目标值20。对偶变量 \(\pi_1 = 0.5, \pi_2 = 1\)。

  • 子问题：最小化 \(1 - (0.5a_1 + 1a_2)\)。
    枚举：
    • \(a_1 = 0, a_2 = 2\)：检验数 \(= 1 - 2 = -1\)。
    • \(a_1 = 1, a_2 = 1\)：检验数 \(= 1 - 1.5 = -0.5\)。
      加入模式4（ \(a_1 = 0, a_2 = 2\)）。

迭代3：

  • RMP加入模式4后求解，目标值降至18.75（详细计算略）。
  • 继续子问题，直至无负检验数模式，得到最优解。

关键点

  • 列生成通过分解主问题与子问题，避免枚举所有列。
  • 子问题的背包结构可用动态规划高效求解。
  • 最终解可能含小数，需结合整数规划方法（如分支定界）得到整数解。
列生成算法在钢铁生产计划问题中的应用示例 题目描述 某钢铁厂生产多种型号的钢板（如厚度、宽度不同的板材），需根据客户订单制定生产计划。已知： 订单需求：每种型号钢板的需求量（如型号A需10吨，型号B需15吨）。 原材料钢卷：宽度固定为2000mm，可切割成不同宽度的小卷（如型号A需宽度1000mm，型号B需宽度800mm）。 切割模式：一种切割模式指将原材料钢卷按特定方式切割成若干小卷（例如，模式1：切割出2卷1000mm宽的小卷；模式2：切割出1卷1000mm和1卷800mm宽的小卷）。 目标：最小化使用的原材料钢卷总数，同时满足所有订单需求。 该问题可建模为线性规划问题，但切割模式组合极多（组合爆炸），直接枚举所有模式求解不可行。需使用列生成算法动态生成有价值的切割模式。 解题过程 步骤1：建立主问题模型 设： \( D_ i \)：型号 \( i \) 的需求量（\( i = 1, \dots, m \)）。 \( a_ {ij} \)：切割模式 \( j \) 中型号 \( i \) 的产量（即该模式切割出的小卷数）。 \( x_ j \)：使用切割模式 \( j \) 的次数（决策变量）。 主问题（Master Problem, MP）为： \[ \text{minimize} \quad \sum_ {j} x_ j \] \[ \text{subject to} \quad \sum_ {j} a_ {ij} x_ j \geq D_ i \quad \forall i, \quad x_ j \geq 0. \] 由于模式 \( j \) 的数量庞大，初始仅包含少数模式（如简单模式：每种型号单独切割），构成限制主问题（Restricted Master Problem, RMP）。 步骤2：构造子问题（定价问题） 列生成的核心是通过子问题生成能改进目标的新模式。设 \( \pi_ i \) 为RMP中需求约束的对偶变量（即型号 \( i \) 的边际成本）。子问题需找到一个新模式 \( a^* \)，使得其检验数（reduced cost）最小： \[ \text{minimize} \quad 1 - \sum_ {i} \pi_ i a_ i \] 其中 \( a_ i \) 为新模式中型号 \( i \) 的产量，且需满足切割的物理约束： 原材料宽度 \( W = 2000mm \)，型号 \( i \) 的宽度为 \( w_ i \)。 切割需满足：\( \sum_ {i} a_ i w_ i \leq W \)，且 \( a_ i \) 为非负整数。 子问题实质是一个 背包问题 ：选择整数 \( a_ i \)，使总宽度不超过 \( W \)，且最小化 \( 1 - \sum_ i \pi_ i a_ i \)。 步骤3：迭代求解流程 初始化RMP ：包含少量简单模式（如每个模式仅切割一种型号）。 求解RMP ：得到最优解 \( x_ j^* \) 和对偶变量 \( \pi_ i^* \)。 求解子问题 ： 若子问题目标值 \( \geq 0 \)（即所有检验数非负），当前RMP已是最优，算法终止。 若子问题目标值 \( < 0 \)，则将新模式加入RMP。 重复步骤2-3直至收敛。 步骤4：具体数值示例 假设有两种型号： 型号1：宽度 \( w_ 1 = 1000mm \)，需求 \( D_ 1 = 10 \)。 型号2：宽度 \( w_ 2 = 800mm \)，需求 \( D_ 2 = 15 \)。 迭代1 ： 初始模式：模式1（仅切1卷1000mm）、模式2（仅切1卷800mm）。 RMP： \[ \text{min} \quad x_ 1 + x_ 2 \quad \text{s.t.} \quad 1x_ 1 + 0x_ 2 \geq 10, \quad 0x_ 1 + 1x_ 2 \geq 15. \] 解：\( x_ 1 = 10, x_ 2 = 15 \)，目标值25。对偶变量 \( \pi_ 1 = 1, \pi_ 2 = 1 \)。 子问题：最小化 \( 1 - (1 \cdot a_ 1 + 1 \cdot a_ 2) \)，约束为 \( 1000a_ 1 + 800a_ 2 \leq 2000 \)。 枚举可行解： \( a_ 1 = 2, a_ 2 = 0 \)：检验数 \( = 1 - 2 = -1 \)。 \( a_ 1 = 1, a_ 2 = 1 \)：检验数 \( = 1 - 2 = -1 \)。 \( a_ 1 = 0, a_ 2 = 2 \)：检验数 \( = 1 - 2 = -1 \)。 任选新模式（如 \( a_ 1 = 2, a_ 2 = 0 \)）加入RMP。 迭代2 ： RMP新增模式3（产量 \( a_ 1 = 2, a_ 2 = 0 \)）： \[ \text{min} \quad x_ 1 + x_ 2 + x_ 3 \quad \text{s.t.} \quad 1x_ 1 + 0x_ 2 + 2x_ 3 \geq 10, \quad 0x_ 1 + 1x_ 2 + 0x_ 3 \geq 15. \] 解：\( x_ 1 = 0, x_ 2 = 15, x_ 3 = 5 \)，目标值20。对偶变量 \( \pi_ 1 = 0.5, \pi_ 2 = 1 \)。 子问题：最小化 \( 1 - (0.5a_ 1 + 1a_ 2) \)。 枚举： \( a_ 1 = 0, a_ 2 = 2 \)：检验数 \( = 1 - 2 = -1 \)。 \( a_ 1 = 1, a_ 2 = 1 \)：检验数 \( = 1 - 1.5 = -0.5 \)。 加入模式4（ \( a_ 1 = 0, a_ 2 = 2 \)）。 迭代3 ： RMP加入模式4后求解，目标值降至18.75（详细计算略）。 继续子问题，直至无负检验数模式，得到最优解。 关键点 列生成通过分解主问题与子问题，避免枚举所有列。 子问题的背包结构可用动态规划高效求解。 最终解可能含小数，需结合整数规划方法（如分支定界）得到整数解。