双步隐式位移QR算法计算矩阵特征值
字数 1711 2025-10-27 11:27:25

双步隐式位移QR算法计算矩阵特征值

题目描述
双步隐式位移QR算法是计算实矩阵所有特征值的高效数值方法，特别适用于非对称矩阵。它通过隐式应用两次位移的QR迭代，将矩阵逐步转化为舒尔形式（上三角矩阵），从而直接读取特征值。与显式QR算法相比，双步隐式方法避免了复数运算，且通过保结构变换维持数值稳定性。核心问题：给定一个实矩阵 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\)，如何通过双步隐式位移QR算法计算其特征值？

解题过程

  1. 预处理：转化为上海森伯格形式

    • 目标：使用Householder变换将矩阵 \(A\) 化为上海森伯格矩阵 \(H\)（即当 \(i > j+1\) 时 \(h_{ij} = 0\)），减少后续计算量。
    • 步骤：
      • 对 \(k = 1\) 到 \(n-2\) 列，计算Householder反射矩阵 \(P_k\)，使得 \(A\) 的第 \(k\) 列中第 \(k+2\) 行以下的元素变为零。
      • 更新矩阵：\(A \leftarrow P_k A P_k^T\)，保持相似性（特征值不变）。
    • 结果：\(H\) 仅在对角线、上次对角线和上次对角线以上有非零元。

  2. 双步隐式位移QR迭代

    • 位移策略：
      • 每次迭代从 \(H\) 的右下角 \(2 \times 2\) 子矩阵 \(\begin{bmatrix} h_{n-1,n-1} & h_{n-1,n} \\ h_{n,n-1} & h_{n,n} \end{bmatrix}\) 计算两个位移量 \(\sigma_1\) 和 \(\sigma_2\)，作为该子矩阵特征值的近似。
      • 若特征值为复数，则使用共轭对作为位移，避免引入复数运算。
    • 隐式步骤：
      • 计算向量 \(v = (H - \sigma_1 I)(H - \sigma_2 I)e_1\)，其中 \(e_1\) 是第一个标准基向量。
      • 构造Householder变换 \(P_0\)，使 \(P_0 v\) 与 \(e_1\) 对齐（即除第一个分量外其余为零）。
      • 应用 \(P_0\) 到 \(H\)：\(H \leftarrow P_0 H P_0^T\)。这会引入一个“凸起”（bulge），破坏上海森伯格形式。
      • 追迹凸起：通过一系列Givens旋转或Householder变换 \(P_1, P_2, \dots, P_{n-2}\)，将凸起沿对角线向下移动，直至恢复上海森伯格形式。具体：
        • 对 \(k = 0\) 到 \(n-3\)，构造 \(P_{k+1}\) 消去第 \(k+2\) 行凸起元素，更新 \(H \leftarrow P_{k+1} H P_{k+1}^T\)。
      • 迭代直到 \(H\) 的对角块分离出 \(1 \times 1\)（实特征值）或 \(2 \times 2\)（共轭复特征值）子矩阵。

  3. 收敛判断与特征值提取

    • 当上次对角线元素 \(|h_{i+1,i}|\) 小于容差（如 \(\epsilon \|H\|\)）时，视作零，将 \(H\) 分割为更小的不可约块。
    • 重复迭代直至所有特征值分离：
      • \(1 \times 1\) 块的对角元即为实特征值。
      • \(2 \times 2\) 块的特征值通过求解二次方程 \(\lambda^2 - (h_{ii} + h_{i+1,i+1})\lambda + (h_{ii}h_{i+1,i+1} - h_{i,i+1}h_{i+1,i}) = 0\) 得到复特征值。

关键点

  • 隐式位移避免直接计算 \((H - \sigma_1 I)(H - \sigma_2 I)\) 的显式QR分解，提升效率。
  • 通过保相似变换维持特征值不变，且数值稳定性优于显式方法。
  • 算法复杂度为 \(O(n^3)\)，但预处理后每次迭代仅 \(O(n^2)\)。
双步隐式位移QR算法计算矩阵特征值 题目描述 双步隐式位移QR算法是计算实矩阵所有特征值的高效数值方法，特别适用于非对称矩阵。它通过隐式应用两次位移的QR迭代，将矩阵逐步转化为舒尔形式（上三角矩阵），从而直接读取特征值。与显式QR算法相比，双步隐式方法避免了复数运算，且通过保结构变换维持数值稳定性。核心问题：给定一个实矩阵 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \)，如何通过双步隐式位移QR算法计算其特征值？ 解题过程 预处理：转化为上海森伯格形式 目标：使用Householder变换将矩阵 \( A \) 化为上海森伯格矩阵 \( H \)（即当 \( i > j+1 \) 时 \( h_ {ij} = 0 \)），减少后续计算量。 步骤： 对 \( k = 1 \) 到 \( n-2 \) 列，计算Householder反射矩阵 \( P_ k \)，使得 \( A \) 的第 \( k \) 列中第 \( k+2 \) 行以下的元素变为零。 更新矩阵：\( A \leftarrow P_ k A P_ k^T \)，保持相似性（特征值不变）。 结果：\( H \) 仅在对角线、上次对角线和上次对角线以上有非零元。 双步隐式位移QR迭代 位移策略 ： 每次迭代从 \( H \) 的右下角 \( 2 \times 2 \) 子矩阵 \( \begin{bmatrix} h_ {n-1,n-1} & h_ {n-1,n} \\ h_ {n,n-1} & h_ {n,n} \end{bmatrix} \) 计算两个位移量 \( \sigma_ 1 \) 和 \( \sigma_ 2 \)，作为该子矩阵特征值的近似。 若特征值为复数，则使用共轭对作为位移，避免引入复数运算。 隐式步骤 ： 计算向量 \( v = (H - \sigma_ 1 I)(H - \sigma_ 2 I)e_ 1 \)，其中 \( e_ 1 \) 是第一个标准基向量。 构造Householder变换 \( P_ 0 \)，使 \( P_ 0 v \) 与 \( e_ 1 \) 对齐（即除第一个分量外其余为零）。 应用 \( P_ 0 \) 到 \( H \)：\( H \leftarrow P_ 0 H P_ 0^T \)。这会引入一个“凸起”（bulge），破坏上海森伯格形式。 追迹凸起 ：通过一系列Givens旋转或Householder变换 \( P_ 1, P_ 2, \dots, P_ {n-2} \)，将凸起沿对角线向下移动，直至恢复上海森伯格形式。具体： 对 \( k = 0 \) 到 \( n-3 \)，构造 \( P_ {k+1} \) 消去第 \( k+2 \) 行凸起元素，更新 \( H \leftarrow P_ {k+1} H P_ {k+1}^T \)。 迭代直到 \( H \) 的对角块分离出 \( 1 \times 1 \)（实特征值）或 \( 2 \times 2 \)（共轭复特征值）子矩阵。 收敛判断与特征值提取 当上次对角线元素 \( |h_ {i+1,i}| \) 小于容差（如 \( \epsilon \|H\| \)）时，视作零，将 \( H \) 分割为更小的不可约块。 重复迭代直至所有特征值分离： \( 1 \times 1 \) 块的对角元即为实特征值。 \( 2 \times 2 \) 块的特征值通过求解二次方程 \( \lambda^2 - (h_ {ii} + h_ {i+1,i+1})\lambda + (h_ {ii}h_ {i+1,i+1} - h_ {i,i+1}h_ {i+1,i}) = 0 \) 得到复特征值。 关键点 隐式位移避免直接计算 \( (H - \sigma_ 1 I)(H - \sigma_ 2 I) \) 的显式QR分解，提升效率。 通过保相似变换维持特征值不变，且数值稳定性优于显式方法。 算法复杂度为 \( O(n^3) \)，但预处理后每次迭代仅 \( O(n^2) \)。