列生成算法在电力系统机组组合问题中的应用示例
字数 1697 2025-10-27 11:27:25

列生成算法在电力系统机组组合问题中的应用示例

题目描述
考虑一个电力系统的机组组合问题。系统中有多个发电机组（如燃煤、燃气机组），每个机组有特定的发电成本函数、最小和最大出力限制、启动成本和最小运行/停机时间约束。系统需要满足未来24小时（每个小时为一个时段）的电力负荷需求。目标是确定每个机组在每个时段的启停状态和发电量，使得总成本（发电成本+启动成本）最小，同时满足负荷需求和各机组的技术约束。由于机组数量多、时段长，直接建模为混合整数规划问题规模巨大，难以直接求解。列生成算法可用于处理该问题，将原问题分解为主问题（确定机组启停状态以满足需求）和定价子问题（为每个机组生成低成本运行方案）。

解题过程

  1. 问题建模

    • 设机组集合为 \(I\)，时段集合为 \(T\)（如 \(|T|=24\)）。
    • 每个机组 \(i\) 在时段 \(t\) 的发电量为 \(p_{it}\)，启停状态为 \(u_{it} \in \{0,1\}\)。
    • 目标函数：最小化总成本 \(\sum_{t \in T} \sum_{i \in I} \left( C_i(p_{it}) + S_{it} \cdot v_{it} \right)\)，其中 \(C_i\) 为发电成本（通常为线性或二次函数），\(S_{it}\) 为启动成本，\(v_{it}\) 表示机组是否在时段 \(t\) 启动。
    • 约束包括：
      • 功率平衡约束：\(\sum_{i \in I} p_{it} = D_t\)（\(D_t\) 为时段 \(t\) 的负荷需求）。
      • 机组出力约束：\(u_{it} \cdot P_i^{\min} \leq p_{it} \leq u_{it} \cdot P_i^{\max}\)。
      • 最小运行/停机时间约束：机组启动后需连续运行至少 \(L_i\) 小时，停机后需保持停机至少 \(l_i\) 小时。
    • 直接求解该混合整数规划问题计算复杂，故采用列生成。

  2. 列生成框架设计

    • 主问题（限制主问题）：
      将机组 \(i\) 的所有可能运行方案（即24小时的启停状态序列）表示为列。设 \(\Omega_i\) 为机组 \(i\) 的所有可行运行方案集合，每个方案 \(k \in \Omega_i\) 对应一个启停状态序列 \(u_{it}^k\) 和发电量分配 \(p_{it}^k\)，满足最小运行/停机时间约束。主问题选择方案组合以满足负荷需求：

\[ \min \sum_{i \in I} \sum_{k \in \Omega_i} c_{ik} \lambda_{ik} \quad \text{s.t.} \quad \sum_{i \in I} \sum_{k \in \Omega_i} p_{it}^k \lambda_{ik} = D_t, \ \sum_{k \in \Omega_i} \lambda_{ik} = 1, \ \lambda_{ik} \in \{0,1\} \]

 其中 $ c_{ik} $ 为方案 $ k $ 的总成本，$ \lambda_{ik} $ 为二进制变量（选方案 $ k $ 则为1）。松弛 $ \lambda_{ik} $ 为连续变量（$ 0 \leq \lambda_{ik} \leq 1 $）以简化求解。
  • 定价子问题：
    对每个机组 \(i\)，生成成本较低的运行方案。子问题目标为减少主问题的目标函数，即最小化 \(c_i - \sum_{t \in T} \pi_t p_{it} - \mu_i\)，其中 \(\pi_t\) 是功率平衡约束的对偶变量，\(\mu_i\) 是凸性约束（\(\sum_k \lambda_{ik} = 1\)）的对偶变量。子问题是一个单机组机组组合问题：
    \
列生成算法在电力系统机组组合问题中的应用示例 题目描述 考虑一个电力系统的机组组合问题。系统中有多个发电机组（如燃煤、燃气机组），每个机组有特定的发电成本函数、最小和最大出力限制、启动成本和最小运行/停机时间约束。系统需要满足未来24小时（每个小时为一个时段）的电力负荷需求。目标是确定每个机组在每个时段的启停状态和发电量，使得总成本（发电成本+启动成本）最小，同时满足负荷需求和各机组的技术约束。由于机组数量多、时段长，直接建模为混合整数规划问题规模巨大，难以直接求解。列生成算法可用于处理该问题，将原问题分解为主问题（确定机组启停状态以满足需求）和定价子问题（为每个机组生成低成本运行方案）。 解题过程 问题建模 设机组集合为 \( I \)，时段集合为 \( T \)（如 \( |T|=24 \)）。 每个机组 \( i \) 在时段 \( t \) 的发电量为 \( p_ {it} \)，启停状态为 \( u_ {it} \in \{0,1\} \)。 目标函数：最小化总成本 \( \sum_ {t \in T} \sum_ {i \in I} \left( C_ i(p_ {it}) + S_ {it} \cdot v_ {it} \right) \)，其中 \( C_ i \) 为发电成本（通常为线性或二次函数），\( S_ {it} \) 为启动成本，\( v_ {it} \) 表示机组是否在时段 \( t \) 启动。 约束包括： 功率平衡约束：\( \sum_ {i \in I} p_ {it} = D_ t \)（\( D_ t \) 为时段 \( t \) 的负荷需求）。 机组出力约束：\( u_ {it} \cdot P_ i^{\min} \leq p_ {it} \leq u_ {it} \cdot P_ i^{\max} \)。 最小运行/停机时间约束：机组启动后需连续运行至少 \( L_ i \) 小时，停机后需保持停机至少 \( l_ i \) 小时。 直接求解该混合整数规划问题计算复杂，故采用列生成。 列生成框架设计 主问题（限制主问题） ： 将机组 \( i \) 的所有可能运行方案（即24小时的启停状态序列）表示为列。设 \( \Omega_ i \) 为机组 \( i \) 的所有可行运行方案集合，每个方案 \( k \in \Omega_ i \) 对应一个启停状态序列 \( u_ {it}^k \) 和发电量分配 \( p_ {it}^k \)，满足最小运行/停机时间约束。主问题选择方案组合以满足负荷需求： \[ \min \sum_ {i \in I} \sum_ {k \in \Omega_ i} c_ {ik} \lambda_ {ik} \quad \text{s.t.} \quad \sum_ {i \in I} \sum_ {k \in \Omega_ i} p_ {it}^k \lambda_ {ik} = D_ t, \ \sum_ {k \in \Omega_ i} \lambda_ {ik} = 1, \ \lambda_ {ik} \in \{0,1\} \] 其中 \( c_ {ik} \) 为方案 \( k \) 的总成本，\( \lambda_ {ik} \) 为二进制变量（选方案 \( k \) 则为1）。松弛 \( \lambda_ {ik} \) 为连续变量（\( 0 \leq \lambda_ {ik} \leq 1 \)）以简化求解。 定价子问题 ： 对每个机组 \( i \)，生成成本较低的运行方案。子问题目标为减少主问题的目标函数，即最小化 \( c_ i - \sum_ {t \in T} \pi_ t p_ {it} - \mu_ i \)，其中 \( \pi_ t \) 是功率平衡约束的对偶变量，\( \mu_ i \) 是凸性约束（\( \sum_ k \lambda_ {ik} = 1 \)）的对偶变量。子问题是一个单机组机组组合问题： \