自适应辛普森积分法的变步长实现与误差估计

题目描述
自适应辛普森积分法是一种通过动态调整步长来平衡计算效率与精度的数值积分方法。其核心思想是：在函数变化剧烈的区间使用较小步长以提高精度，在变化平缓的区间使用较大步长以减少计算量。本题要求实现自适应辛普森积分法的变步长策略，并分析其误差估计方法。具体任务包括：

1. 推导自适应辛普森公式的误差估计表达式；
2. 设计变步长迭代算法，根据误差估计动态划分区间；
3. 通过实例验证算法的收敛性与效率。

解题过程

1. 基础辛普森公式回顾
   对于区间 \([a, b]\) 上的函数 \(f(x)\)，辛普森公式为：

\[ S(a, b) = \frac{b-a}{6} \left[ f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right]. \]

若将区间二等分，利用复合辛普森公式可得：

\[ S_2(a, b) = S\left(a, \frac{a+b}{2}\right) + S\left(\frac{a+b}{2}, b\right). \]

2. 误差估计推导
   辛普森公式的截断误差与区间长度的五次方成正比（即 \(O(h^5)\)）。设 \(I\) 为精确积分值，则有：

\[ I - S(a, b) \approx k (b-a)^5, \quad I - S_2(a, b) \approx 2k \left(\frac{b-a}{2}\right)^5 = \frac{k}{16}(b-a)^5. \]

联立两式消去 \(k\)，得到误差估计：

\[ E \approx \frac{1}{15} \left| S_2(a, b) - S(a, b) \right|. \]

此误差估计用于判断当前区间是否满足精度要求。

3. 变步长递归算法设计

   • 输入：积分区间 \([a, b]\)、误差容限 \(\epsilon\)、最大递归深度 \(max\_depth\)。
   • 步骤：
     1. 计算 \(S(a, b)\) 和 \(S_2(a, b)\)，并估计误差 \(E\)。
     2. 若 \(E \leq \epsilon\) 或递归深度超限，返回 \(S_2(a, b)\) 作为该区间的积分值。
     3. 若 \(E > \epsilon\)，将区间二等分，递归处理两个子区间 \([a, m]\) 和 \([m, b]\)（其中 \(m = (a+b)/2\)），并将结果相加。
   • 输出：满足精度要求的积分近似值。

4. 实例验证
   以积分 \(\int_0^1 e^{-x^2} \, dx\) 为例，设置 \(\epsilon = 10^{-6}\)：

   • 初始区间 \([0, 1]\) 的误差估计可能较大，算法自动将其划分为 \([0, 0.5]\) 和 \([0.5, 1]\)。
   • 在 \(x=1\) 附近函数变化更剧烈，子区间 \([0.5, 1]\) 可能被进一步细分，而 \([0, 0.5]\) 可能只需较少划分。
   • 最终积分结果与精确值比较，误差控制在 \(\epsilon\) 以内。

5. 算法效率分析

   • 通过动态调整步长，避免在平缓区间浪费计算资源。
   • 递归深度限制防止过度细分，保证算法终止。
   • 误差估计的可靠性直接影响收敛性，需确保推导假设成立（如函数充分光滑）。

总结
自适应辛普森积分法通过局部误差估计指导区间划分，实现了精度与效率的平衡。其变步长策略尤其适用于被积函数变化不均匀的场景，是数值积分中广泛使用的实用技术。