QR分解法计算矩阵特征值 题目描述 给定一个n×n的实矩阵A，要求计算它的所有特征值。特征值问题是线性代数中的核心问题，特征值反映了矩阵的固有特性。QR分解法是一种通过迭代将矩阵近似为三角矩阵从而求解特征值的方法，尤其适用于中小规模矩阵。 解题过程 基本思路 QR算法的核心是通过迭代构造一个收敛到上三角矩阵的序列。上三角矩阵的对角元素即为特征值。迭代过程如下： 对矩阵A进行QR分解：A = QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。 计算逆序乘积：A₁ = RQ。 重复上述步骤，Aₖ会逐渐收敛到上三角矩阵（若A是实对称矩阵，则收敛到对角矩阵）。 QR分解的实现 使用Householder变换将A分解为QR： 对A的每一列，构造一个Householder反射矩阵H，使得该列下方元素变为零。 逐次左乘H，最终得到R（上三角矩阵），Q = H₁H₂...Hₙ（正交矩阵）。 例如，对于3×3矩阵，需2次变换：H₂(H₁A) = R，Q = H₁H₂。 迭代过程的收敛性 每次迭代Aₖ = QₖᵀAₖ₋₁Qₖ，保持相似变换（特征值不变）。 若A的特征值满足|λ₁| > |λ₂| > ... > |λₙ|，则Aₖ的对角线下方元素逐渐趋于零。 实际计算中，当次对角线元素小于阈值（如10⁻¹⁰）时，认为已收敛。 加速技巧：上Hessenberg化 先通过相似变换将A化为上Hessenberg矩阵（次对角线以下全为零），减少QR分解的计算量。 使用Givens旋转或Householder变换实现上Hessenberg化，迭代时仅需对次对角线元素进行处理。 实例演示 以2×2矩阵A = [ [ 4, 1], [ 1, 3] ]为例： 第1次迭代： QR分解：Q ≈ [ [ 0.97, -0.24], [ 0.24, 0.97]]，R ≈ [ [ 4.12, 1.45], [ 0, 2.66] ] A₁ = RQ ≈ [ [ 4.26, 0.83], [ 0.24, 2.74] ] 第2次迭代后A₂ ≈ [ [ 4.32, 0.63], [ 0.08, 2.68] ]，逐渐接近对角矩阵。 最终特征值约为4.37和2.63。 异常处理 若特征值重复或接近，收敛速度可能变慢，可结合位移策略（如Wilkinson位移）加速。 对于复特征值，需使用复数运算或隐式双步QR算法。 通过以上步骤，QR算法能稳定地计算出矩阵的特征值，是数值线性代数中的经典方法。