复化梯形公式的误差分析与步长优化
字数 2343 2025-10-27 08:13:40

复化梯形公式的误差分析与步长优化

题目描述
计算定积分 \(I = \int_a^b f(x) \, dx\) 时，常将区间 \([a, b]\) 划分为 \(n\) 等份，对每个子区间应用梯形公式，得到复化梯形公式。本题要求：

  1. 推导复化梯形公式的截断误差表达式；
  2. 分析误差与步长 \(h = (b-a)/n\) 的关系；
  3. 给定误差容限 \(\varepsilon\)，如何选择最优步长 \(h\) 以满足精度要求？

解题过程

1. 复化梯形公式的建立

将区间 \([a, b]\) 划分为 \(n\) 等份，步长 \(h = (b-a)/n\)，节点 \(x_k = a + kh \ (k=0,1,\dots,n)\)。在每个子区间 \([x_{k-1}, x_k]\) 上应用梯形公式：

\[\int_{x_{k-1}}^{x_k} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} [f(x_{k-1}) + f(x_k)], \]

累加所有子区间得到复化梯形公式：

\[T_n = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(b) \right]. \]

2. 截断误差推导

步骤 1：单个子区间上的误差

梯形公式的局部截断误差为（基于积分中值定理）：

\[E_k = -\frac{h^3}{12} f''(\xi_k), \quad \xi_k \in [x_{k-1}, x_k]. \]

该误差来源于用线性插值多项式逼近 \(f(x)\) 时的积分余项。

步骤 2：全局误差累加

复化梯形公式的总误差为所有子区间误差之和：

\[E_n = \sum_{k=1}^n E_k = -\frac{h^3}{12} \sum_{k=1}^n f''(\xi_k). \]

若 \(f''(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，由介值定理存在 \(\xi \in [a, b]\) 使得：

\[\sum_{k=1}^n f''(\xi_k) = n \cdot f''(\xi). \]

代入 \(n = (b-a)/h\)，得到全局误差：

\[E_n = -\frac{h^3}{12} \cdot \frac{b-a}{h} \cdot f''(\xi) = -\frac{(b-a)h^2}{12} f''(\xi). \]

因此，复化梯形公式的截断误差为：

\[E_n = -\frac{b-a}{12} h^2 f''(\xi), \quad \xi \in [a, b]. \]

3. 误差与步长的关系

误差表达式 \(E_n = O(h^2)\) 表明：

  • 当步长 \(h\) 减半（即节点数 \(n\) 加倍）时，误差大致缩小为原来的 \(1/4\)；
  • 复化梯形公式具有二阶收敛精度。

4. 基于误差容限的步长选择

步骤 1：误差估计式

在实际计算中，\(f''(\xi)\) 未知，需用数值方法估计。一种实用方法是利用两次不同步长的计算结果：
设 \(T_n\) 和 \(T_{2n}\) 分别为步长 \(h\) 和 \(h/2\) 的复化梯形值，则误差满足近似关系：

\[I - T_n \approx -\frac{(b-a)h^2}{12} f''(\xi), \quad I - T_{2n} \approx -\frac{(b-a)(h/2)^2}{12} f''(\xi). \]

两式相减消去 \(f''(\xi)\)，得到：

\[T_{2n} - T_n \approx -\frac{(b-a)h^2}{12} \left( \frac{1}{4} - 1 \right) f''(\xi) = \frac{(b-a)h^2}{16} f''(\xi). \]

进一步可推导误差估计式：

\[I - T_{2n} \approx \frac{T_{2n} - T_n}{3}. \]

步骤 2：步长优化策略

给定误差容限 \(\varepsilon\)，要求 \(|I - T_{2n}| \leq \varepsilon\)。利用误差估计式：

\[\left| \frac{T_{2n} - T_n}{3} \right| \leq \varepsilon \implies |T_{2n} - T_n| \leq 3\varepsilon. \]

自适应算法流程：

  1. 初始化步长 \(h = b-a\)，计算 \(T_1\) 和 \(T_2\)；
  2. 若 \(|T_{2n} - T_n| > 3\varepsilon\)，则将步长减半，重新计算 \(T_{2n}\)；
  3. 重复直至满足精度要求。

步骤 3：最优步长公式

若已知 \(M_2 = \max_{x \in [a,b]} |f''(x)|\)，由误差公式：

\[|E_n| \leq \frac{b-a}{12} h^2 M_2 \leq \varepsilon \implies h \leq \sqrt{ \frac{12\varepsilon}{(b-a)M_2} }. \]

此时最优节点数为 \(n = \lceil (b-a)/h \rceil\)。

5. 总结

  • 复化梯形公式的误差由二阶导数控制，与 \(h^2\) 成正比；
  • 通过步长减半和误差估计式可自适应选择步长；
  • 若已知二阶导数上界，可直接计算理论最优步长。
复化梯形公式的误差分析与步长优化 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ a^b f(x) \, dx \) 时，常将区间 \([ a, b ]\) 划分为 \(n\) 等份，对每个子区间应用梯形公式，得到复化梯形公式。本题要求： 推导复化梯形公式的截断误差表达式； 分析误差与步长 \(h = (b-a)/n\) 的关系； 给定误差容限 \(\varepsilon\)，如何选择最优步长 \(h\) 以满足精度要求？ 解题过程 1. 复化梯形公式的建立 将区间 \([ a, b]\) 划分为 \(n\) 等份，步长 \(h = (b-a)/n\)，节点 \(x_ k = a + kh \ (k=0,1,\dots,n)\)。在每个子区间 \([ x_ {k-1}, x_ k ]\) 上应用梯形公式： \[ \int_ {x_ {k-1}}^{x_ k} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} [ f(x_ {k-1}) + f(x_ k) ], \] 累加所有子区间得到复化梯形公式： \[ T_ n = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2\sum_ {k=1}^{n-1} f(x_ k) + f(b) \right ]. \] 2. 截断误差推导 步骤 1：单个子区间上的误差 梯形公式的局部截断误差为（基于积分中值定理）： \[ E_ k = -\frac{h^3}{12} f''(\xi_ k), \quad \xi_ k \in [ x_ {k-1}, x_ k ]. \] 该误差来源于用线性插值多项式逼近 \(f(x)\) 时的积分余项。 步骤 2：全局误差累加 复化梯形公式的总误差为所有子区间误差之和： \[ E_ n = \sum_ {k=1}^n E_ k = -\frac{h^3}{12} \sum_ {k=1}^n f''(\xi_ k). \] 若 \(f''(x)\) 在 \([ a, b]\) 上连续，由介值定理存在 \(\xi \in [ a, b ]\) 使得： \[ \sum_ {k=1}^n f''(\xi_ k) = n \cdot f''(\xi). \] 代入 \(n = (b-a)/h\)，得到全局误差： \[ E_ n = -\frac{h^3}{12} \cdot \frac{b-a}{h} \cdot f''(\xi) = -\frac{(b-a)h^2}{12} f''(\xi). \] 因此，复化梯形公式的截断误差为： \[ E_ n = -\frac{b-a}{12} h^2 f''(\xi), \quad \xi \in [ a, b ]. \] 3. 误差与步长的关系 误差表达式 \(E_ n = O(h^2)\) 表明： 当步长 \(h\) 减半（即节点数 \(n\) 加倍）时，误差大致缩小为原来的 \(1/4\)； 复化梯形公式具有二阶收敛精度。 4. 基于误差容限的步长选择 步骤 1：误差估计式 在实际计算中，\(f''(\xi)\) 未知，需用数值方法估计。一种实用方法是利用两次不同步长的计算结果： 设 \(T_ n\) 和 \(T_ {2n}\) 分别为步长 \(h\) 和 \(h/2\) 的复化梯形值，则误差满足近似关系： \[ I - T_ n \approx -\frac{(b-a)h^2}{12} f''(\xi), \quad I - T_ {2n} \approx -\frac{(b-a)(h/2)^2}{12} f''(\xi). \] 两式相减消去 \(f''(\xi)\)，得到： \[ T_ {2n} - T_ n \approx -\frac{(b-a)h^2}{12} \left( \frac{1}{4} - 1 \right) f''(\xi) = \frac{(b-a)h^2}{16} f''(\xi). \] 进一步可推导误差估计式： \[ I - T_ {2n} \approx \frac{T_ {2n} - T_ n}{3}. \] 步骤 2：步长优化策略 给定误差容限 \(\varepsilon\)，要求 \(|I - T_ {2n}| \leq \varepsilon\)。利用误差估计式： \[ \left| \frac{T_ {2n} - T_ n}{3} \right| \leq \varepsilon \implies |T_ {2n} - T_ n| \leq 3\varepsilon. \] 自适应算法流程 ： 初始化步长 \(h = b-a\)，计算 \(T_ 1\) 和 \(T_ 2\)； 若 \(|T_ {2n} - T_ n| > 3\varepsilon\)，则将步长减半，重新计算 \(T_ {2n}\)； 重复直至满足精度要求。 步骤 3：最优步长公式 若已知 \(M_ 2 = \max_ {x \in [ a,b ]} |f''(x)|\)，由误差公式： \[ |E_ n| \leq \frac{b-a}{12} h^2 M_ 2 \leq \varepsilon \implies h \leq \sqrt{ \frac{12\varepsilon}{(b-a)M_ 2} }. \] 此时最优节点数为 \(n = \lceil (b-a)/h \rceil\)。 5. 总结 复化梯形公式的误差由二阶导数控制，与 \(h^2\) 成正比； 通过步长减半和误差估计式可自适应选择步长； 若已知二阶导数上界，可直接计算理论最优步长。