高斯-切比雪夫求积公式在奇异积分中的应用
字数 1759 2025-10-27 08:13:40

高斯-切比雪夫求积公式在奇异积分中的应用

题目描述
高斯-切比雪夫求积公式专用于计算形如 \(\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 的积分，其中权重函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 在端点 \(x = \pm 1\) 处具有奇异性。本题要求利用该公式计算积分 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)，并分析其如何处理奇异性问题。

解题过程

  1. 理解积分特征

    • 被积函数为 \(\frac{\cos(x)}{\sqrt{1-x^2}}\)，分母 \(\sqrt{1-x^2}\) 在 \(x = \pm 1\) 时趋于无穷，导致积分在端点处奇异。
    • 高斯-切比雪夫公式的权重函数恰好匹配此类奇异性的结构，因此能通过特定节点和权重精确计算积分。

  2. 高斯-切比雪夫公式的核心形式

    • 公式的通用形式为：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i), \]

 其中节点 $x_i$ 是切比雪夫多项式 $T_n(x) = \cos(n \arccos x)$ 的根，即：

\[ x_i = \cos\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right), \quad w_i = \frac{\pi}{n}. \]

  • 权重 \(w_i\) 为常数，简化了计算。

  1. 选择节点数 \(n\)

    • 高斯型公式对 \(n\) 次多项式精确成立。此处 \(f(x) = \cos(x)\) 非多项式，但因其光滑，较小 \(n\) 即可达到高精度。以 \(n=3\) 为例演示计算。

  2. 计算节点与权重（\(n=3\)）

    • 节点计算：

\[ x_1 = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660, \quad x_2 = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad x_3 = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.8660. \]

  • 权重均为 \(w_i = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472\).
  1. 近似积分计算
    • 将节点代入 \(f(x) = \cos(x)\)：

\[ f(x_1) = \cos(0.8660) \approx 0.6470, \quad f(x_2) = \cos(0) = 1, \quad f(x_3) = \cos(-0.8660) \approx 0.6470. \]

  • 积分近似值：

\[ I \approx \frac{\pi}{3} \left(0.6470 + 1 + 0.6470\right) = \frac{\pi}{3} \times 2.2940 \approx 2.405. \]

  1. 处理奇异性的原理分析

    • 公式的节点 \(x_i\) 避开端点（\(x_i \in (-1,1)\)），直接规避了奇异性点的计算。
    • 权重 \(w_i\) 的推导源于正交性理论，隐含了对权重函数 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 的积分补偿，无需显式处理无穷大。

  2. 误差与收敛性

    • 高斯型公式的误差项与 \(f(x)\) 的 \(2n\) 阶导数相关。对光滑函数如 \(\cos(x)\)，误差随 \(n\) 增加指数级衰减。
    • 实际应用中可通过增加 \(n\) 提高精度，例如 \(n=5\) 时结果更接近真实值 \(I \approx 2.403\)（通过特殊函数 \(I = \pi J_0(1)\) 计算，其中 \(J_0\) 为零阶贝塞尔函数）。

关键总结
高斯-切比雪夫公式通过匹配奇异权重函数的设计，将奇异积分转化为节点处函数值的加权和，无需显式处理无穷大，体现了数值方法中“以结构匹配问题”的高效策略。

高斯-切比雪夫求积公式在奇异积分中的应用 题目描述 高斯-切比雪夫求积公式专用于计算形如 \(\int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 的积分，其中权重函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 在端点 \(x = \pm 1\) 处具有奇异性。本题要求利用该公式计算积分 \(I = \int_ {-1}^{1} \frac{\cos(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)，并分析其如何处理奇异性问题。 解题过程 理解积分特征 被积函数为 \(\frac{\cos(x)}{\sqrt{1-x^2}}\)，分母 \(\sqrt{1-x^2}\) 在 \(x = \pm 1\) 时趋于无穷，导致积分在端点处奇异。 高斯-切比雪夫公式的权重函数恰好匹配此类奇异性的结构，因此能通过特定节点和权重精确计算积分。 高斯-切比雪夫公式的核心形式 公式的通用形式为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i), \] 其中节点 \(x_ i\) 是切比雪夫多项式 \(T_ n(x) = \cos(n \arccos x)\) 的根，即： \[ x_ i = \cos\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right), \quad w_ i = \frac{\pi}{n}. \] 权重 \(w_ i\) 为常数，简化了计算。 选择节点数 \(n\) 高斯型公式对 \(n\) 次多项式精确成立。此处 \(f(x) = \cos(x)\) 非多项式，但因其光滑，较小 \(n\) 即可达到高精度。以 \(n=3\) 为例演示计算。 计算节点与权重（\(n=3\)） 节点计算： \[ x_ 1 = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660, \quad x_ 2 = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad x_ 3 = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.8660. \] 权重均为 \(w_ i = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472\). 近似积分计算 将节点代入 \(f(x) = \cos(x)\)： \[ f(x_ 1) = \cos(0.8660) \approx 0.6470, \quad f(x_ 2) = \cos(0) = 1, \quad f(x_ 3) = \cos(-0.8660) \approx 0.6470. \] 积分近似值： \[ I \approx \frac{\pi}{3} \left(0.6470 + 1 + 0.6470\right) = \frac{\pi}{3} \times 2.2940 \approx 2.405. \] 处理奇异性的原理分析 公式的节点 \(x_ i\) 避开端点（\(x_ i \in (-1,1)\)），直接规避了奇异性点的计算。 权重 \(w_ i\) 的推导源于正交性理论，隐含了对权重函数 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 的积分补偿，无需显式处理无穷大。 误差与收敛性 高斯型公式的误差项与 \(f(x)\) 的 \(2n\) 阶导数相关。对光滑函数如 \(\cos(x)\)，误差随 \(n\) 增加指数级衰减。 实际应用中可通过增加 \(n\) 提高精度，例如 \(n=5\) 时结果更接近真实值 \(I \approx 2.403\)（通过特殊函数 \(I = \pi J_ 0(1)\) 计算，其中 \(J_ 0\) 为零阶贝塞尔函数）。 关键总结 高斯-切比雪夫公式通过匹配奇异权重函数的设计，将奇异积分转化为节点处函数值的加权和，无需显式处理无穷大，体现了数值方法中“以结构匹配问题”的高效策略。