主成分分析（PCA）算法的原理与实现步骤
字数 1454 2025-10-27 08:13:40

主成分分析（PCA）算法的原理与实现步骤

题目描述

主成分分析（PCA）是一种常用的无监督降维算法，旨在将高维数据投影到低维空间，同时保留数据的主要特征。其核心思想是通过线性变换找到数据方差最大的方向（即主成分），用较少的新变量（主成分）代替原始变量，从而实现数据压缩和可视化。例如，将100维的数据降至3维以便观察。

解题过程

1. 数据标准化

PCA对数据的尺度敏感，因此需先对每个特征进行标准化处理，使其均值为0、标准差为1。

  • 步骤：
    • 计算每个特征的均值：\(\mu_j = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_{ij}\)
    • 计算标准差：\(\sigma_j = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_{ij} - \mu_j)^2}\)
    • 标准化数据：\(z_{ij} = \frac{x_{ij} - \mu_j}{\sigma_j}\)
  • 目的：消除不同单位或量级对方差计算的影响。

2. 计算协方差矩阵

协方差矩阵反映特征之间的线性相关性。

  • 公式：\(C = \frac{1}{n} Z^T Z\)，其中 \(Z\) 是标准化后的数据矩阵（每行一个样本，每列一个特征）。
  • 解释：矩阵 \(C\) 的对角线是各特征的方差，非对角线是特征间的协方差。PCA的目标是让新特征间协方差为0（无关），从而简化结构。

3. 特征值分解

对协方差矩阵 \(C\) 进行特征值分解，找到主成分方向。

  • 步骤：
    • 求解特征方程：\(C \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\)，其中 \(\lambda\) 是特征值（代表主成分的方差大小），\(\mathbf{v}\) 是对应的特征向量（代表主成分方向）。
    • 按特征值从大到小排序：\(\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_p\)，对应的特征向量为 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_p\)。
  • 关键：最大特征值对应的特征向量 \(\mathbf{v}_1\) 是第一主成分方向（数据方差最大的投影方向）。

4. 选择主成分数量

通过累计方差贡献率确定保留的主成分数量 \(k\)（\(k < p\)）。

  • 计算每个主成分的方差贡献率：\(\frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^p \lambda_j}\)
  • 累计方差贡献率：前 \(k\) 个主成分的贡献率之和应达到预设阈值（如85%或95%）。
  • 示例：若前3个特征值的累计贡献率为90%，则保留 \(k=3\) 个主成分。

5. 投影到低维空间

用前 \(k\) 个特征向量构建投影矩阵 \(W = [\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k]\)，将原始数据映射到新空间。

  • 降维后的数据：\(Z_{\text{new}} = Z \cdot W\)
  • 结果：\(Z_{\text{new}}\) 是 \(n \times k\) 的矩阵，即每个样本用 \(k\) 个新特征（主成分）表示。

关键点总结

  • PCA是线性降维方法，适用于高斯分布或近似高斯分布的数据。
  • 主成分之间相互正交（无关），且按方差重要性排序。
  • 实际应用中需注意：若数据非线性结构强，可考虑核PCA等改进方法。
主成分分析（PCA）算法的原理与实现步骤 题目描述 主成分分析（PCA）是一种常用的无监督降维算法，旨在将高维数据投影到低维空间，同时保留数据的主要特征。其核心思想是通过线性变换找到数据方差最大的方向（即主成分），用较少的新变量（主成分）代替原始变量，从而实现数据压缩和可视化。例如，将100维的数据降至3维以便观察。 解题过程 1. 数据标准化 PCA对数据的尺度敏感，因此需先对每个特征进行标准化处理，使其均值为0、标准差为1。 步骤 ： 计算每个特征的均值：\(\mu_ j = \frac{1}{n}\sum_ {i=1}^n x_ {ij}\) 计算标准差：\(\sigma_ j = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_ {i=1}^n (x_ {ij} - \mu_ j)^2}\) 标准化数据：\(z_ {ij} = \frac{x_ {ij} - \mu_ j}{\sigma_ j}\) 目的 ：消除不同单位或量级对方差计算的影响。 2. 计算协方差矩阵 协方差矩阵反映特征之间的线性相关性。 公式 ：\(C = \frac{1}{n} Z^T Z\)，其中 \(Z\) 是标准化后的数据矩阵（每行一个样本，每列一个特征）。 解释 ：矩阵 \(C\) 的对角线是各特征的方差，非对角线是特征间的协方差。PCA的目标是让新特征间协方差为0（无关），从而简化结构。 3. 特征值分解 对协方差矩阵 \(C\) 进行特征值分解，找到主成分方向。 步骤 ： 求解特征方程：\(C \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\)，其中 \(\lambda\) 是特征值（代表主成分的方差大小），\(\mathbf{v}\) 是对应的特征向量（代表主成分方向）。 按特征值从大到小排序：\(\lambda_ 1 \geq \lambda_ 2 \geq \dots \geq \lambda_ p\)，对应的特征向量为 \(\mathbf{v}_ 1, \mathbf{v}_ 2, \dots, \mathbf{v}_ p\)。 关键 ：最大特征值对应的特征向量 \(\mathbf{v}_ 1\) 是第一主成分方向（数据方差最大的投影方向）。 4. 选择主成分数量 通过累计方差贡献率确定保留的主成分数量 \(k\)（\(k < p\)）。 计算每个主成分的方差贡献率 ：\(\frac{\lambda_ i}{\sum_ {j=1}^p \lambda_ j}\) 累计方差贡献率 ：前 \(k\) 个主成分的贡献率之和应达到预设阈值（如85%或95%）。 示例 ：若前3个特征值的累计贡献率为90%，则保留 \(k=3\) 个主成分。 5. 投影到低维空间 用前 \(k\) 个特征向量构建投影矩阵 \(W = [ \mathbf{v}_ 1, \mathbf{v}_ 2, \dots, \mathbf{v}_ k ]\)，将原始数据映射到新空间。 降维后的数据 ：\(Z_ {\text{new}} = Z \cdot W\) 结果 ：\(Z_ {\text{new}}\) 是 \(n \times k\) 的矩阵，即每个样本用 \(k\) 个新特征（主成分）表示。 关键点总结 PCA是线性降维方法，适用于高斯分布或近似高斯分布的数据。 主成分之间相互正交（无关），且按方差重要性排序。 实际应用中需注意：若数据非线性结构强，可考虑核PCA等改进方法。