Jacobi迭代法解线性方程组
字数 2887 2025-10-27 08:13:40

Jacobi迭代法解线性方程组

题目描述
Jacobi迭代法是一种用于求解线性方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 的经典迭代算法，其中 \(A\) 是 \(n \times n\) 系数矩阵，\(\mathbf{x}\) 是未知向量，\(\mathbf{b}\) 是常数向量。该方法适用于对角占优矩阵（即每个主对角线元素的绝对值大于该行其他元素绝对值之和），通过将系数矩阵 \(A\) 分解为对角矩阵 \(D\)、严格下三角矩阵 \(L\) 和严格上三角矩阵 \(U\)（即 \(A = D + L + U\)），逐步迭代逼近解。其核心思想是每次迭代中，利用前一次迭代的解向量更新当前解。

解题过程循序渐进讲解

步骤1：分解系数矩阵
将矩阵 \(A\) 拆分为三部分：

  • \(D\)：仅包含 \(A\) 的主对角线元素（\(D_{ii} = A_{ii}\)，其余元素为0）。
  • \(L\)：\(A\) 的严格下三角部分（主对角线以下元素，主对角线为0）。
  • \(U\)：\(A\) 的严格上三角部分（主对角线以上元素，主对角线为0）。
    例如，对于3×3矩阵：

\[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}, \quad L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 0 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

步骤2：构造迭代格式
由 \(A\mathbf{x} = (D + L + U)\mathbf{x} = \mathbf{b}\)，移项得 \(D\mathbf{x} = \mathbf{b} - (L + U)\mathbf{x}\)。假设当前迭代为第 \(k\) 步，解向量为 \(\mathbf{x}^{(k)}\)，则下一步迭代公式为：

\[\mathbf{x}^{(k+1)} = D^{-1} \left( \mathbf{b} - (L + U) \mathbf{x}^{(k)} \right). \]

由于 \(D\) 是对角矩阵，其逆矩阵 \(D^{-1}\) 可直接通过取主对角线元素的倒数得到（需确保 \(A_{ii} \neq 0\)）。

步骤3：写出分量形式
迭代公式可展开为每个分量的更新规则。对于第 \(i\) 个分量（\(i = 1, 2, \dots, n\)）：

\[x_i^{(k+1)} = \frac{1}{A_{ii}} \left( b_i - \sum_{j \neq i} A_{ij} x_j^{(k)} \right), \]

其中求和符号 \(\sum_{j \neq i}\) 表示对除 \(j = i\) 外的所有列索引求和。此公式直观表示：用当前其他变量的解 \(x_j^{(k)}\) 计算残差，再通过主对角线元素归一化。

步骤4：设置初始解与收敛条件

  • 初始解 \(\mathbf{x}^{(0)}\) 通常设为零向量或近似解。
  • 迭代终止条件常用两种形式：
    1. 残差条件：\(\| \mathbf{b} - A\mathbf{x}^{(k)} \| < \epsilon\)（\(\epsilon\) 为预设容差，如 \(10^{-6}\)）。
    2. 解的变化条件：\(\| \mathbf{x}^{(k+1)} - \mathbf{x}^{(k)} \| < \epsilon\)。
      其中 \(\| \cdot \|\) 可选用2-范数或无穷范数。

步骤5：执行迭代计算
以具体例子演示。求解方程组：

\[\begin{cases} 10x_1 + 2x_2 + x_3 = 15 \\ x_1 + 10x_2 + 2x_3 = 16 \\ x_1 + 2x_2 + 10x_3 = 13 \end{cases} \]

矩阵 \(A\) 满足对角占优（例如第一行：\(|10| > |2| + |1|\)）。

  1. 初始化解：设 \(\mathbf{x}^{(0)} = (0, 0, 0)^T\)。
  2. 第一次迭代（\(k=0\))：
    • \(x_1^{(1)} = \frac{1}{10}(15 - 2 \cdot 0 - 1 \cdot 0) = 1.5\)
    • \(x_2^{(1)} = \frac{1}{10}(16 - 1 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = 1.6\)
    • \(x_3^{(1)} = \frac{1}{10}(13 - 1 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = 1.3\)
      更新解向量为 \((1.5, 1.6, 1.3)^T\)。
  3. 第二次迭代（\(k=1\))：
    • \(x_1^{(2)} = \frac{1}{10}(15 - 2 \cdot 1.6 - 1 \cdot 1.3) = 1.11\)
    • \(x_2^{(2)} = \frac{1}{10}(16 - 1 \cdot 1.5 - 2 \cdot 1.3) = 1.19\)
    • \(x_3^{(2)} = \frac{1}{10}(13 - 1 \cdot 1.5 - 2 \cdot 1.6) = 0.83\)
      解向量更新为 \((1.11, 1.19, 0.83)^T\)。
  4. 继续迭代直至满足收敛条件。例如，经过10次迭代后解接近精确解 \((1, 1, 1)^T\)。

步骤6：收敛性分析
Jacobi迭代的收敛性由迭代矩阵 \(G = D^{-1}(L + U)\) 的谱半径（特征值的最大绝对值）决定。若谱半径 \(\rho(G) < 1\)，则算法收敛。对角占优是充分条件之一。

关键点总结

  • Jacobi迭代法简单易实现，但收敛速度较慢（尤其对于非对角占优矩阵）。
  • 每次迭代需保存前一次解向量，且所有分量可并行计算（因更新互不依赖）。
  • 若对角元素为零，需通过行交换调整矩阵（如与高斯消元法结合）。
Jacobi迭代法解线性方程组 题目描述 Jacobi迭代法是一种用于求解线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) 的经典迭代算法，其中 \( A \) 是 \( n \times n \) 系数矩阵，\( \mathbf{x} \) 是未知向量，\( \mathbf{b} \) 是常数向量。该方法适用于对角占优矩阵（即每个主对角线元素的绝对值大于该行其他元素绝对值之和），通过将系数矩阵 \( A \) 分解为对角矩阵 \( D \)、严格下三角矩阵 \( L \) 和严格上三角矩阵 \( U \)（即 \( A = D + L + U \)），逐步迭代逼近解。其核心思想是每次迭代中，利用前一次迭代的解向量更新当前解。 解题过程循序渐进讲解 步骤1：分解系数矩阵 将矩阵 \( A \) 拆分为三部分： \( D \)：仅包含 \( A \) 的主对角线元素（\( D_ {ii} = A_ {ii} \)，其余元素为0）。 \( L \)：\( A \) 的严格下三角部分（主对角线以下元素，主对角线为0）。 \( U \)：\( A \) 的严格上三角部分（主对角线以上元素，主对角线为0）。 例如，对于3×3矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} a_ {11} & 0 & 0 \\ 0 & a_ {22} & 0 \\ 0 & 0 & a_ {33} \end{pmatrix}, \quad L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ a_ {21} & 0 & 0 \\ a_ {31} & a_ {32} & 0 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 0 & a_ {12} & a_ {13} \\ 0 & 0 & a_ {23} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \] 步骤2：构造迭代格式 由 \( A\mathbf{x} = (D + L + U)\mathbf{x} = \mathbf{b} \)，移项得 \( D\mathbf{x} = \mathbf{b} - (L + U)\mathbf{x} \)。假设当前迭代为第 \( k \) 步，解向量为 \( \mathbf{x}^{(k)} \)，则下一步迭代公式为： \[ \mathbf{x}^{(k+1)} = D^{-1} \left( \mathbf{b} - (L + U) \mathbf{x}^{(k)} \right). \] 由于 \( D \) 是对角矩阵，其逆矩阵 \( D^{-1} \) 可直接通过取主对角线元素的倒数得到（需确保 \( A_ {ii} \neq 0 \)）。 步骤3：写出分量形式 迭代公式可展开为每个分量的更新规则。对于第 \( i \) 个分量（\( i = 1, 2, \dots, n \)）： \[ x_ i^{(k+1)} = \frac{1}{A_ {ii}} \left( b_ i - \sum_ {j \neq i} A_ {ij} x_ j^{(k)} \right), \] 其中求和符号 \( \sum_ {j \neq i} \) 表示对除 \( j = i \) 外的所有列索引求和。此公式直观表示：用当前其他变量的解 \( x_ j^{(k)} \) 计算残差，再通过主对角线元素归一化。 步骤4：设置初始解与收敛条件 初始解 \( \mathbf{x}^{(0)} \) 通常设为零向量或近似解。 迭代终止条件常用两种形式： 残差条件 ：\( \| \mathbf{b} - A\mathbf{x}^{(k)} \| < \epsilon \)（\( \epsilon \) 为预设容差，如 \( 10^{-6} \)）。 解的变化条件 ：\( \| \mathbf{x}^{(k+1)} - \mathbf{x}^{(k)} \| < \epsilon \)。 其中 \( \| \cdot \| \) 可选用2-范数或无穷范数。 步骤5：执行迭代计算 以具体例子演示。求解方程组： \[ \begin{cases} 10x_ 1 + 2x_ 2 + x_ 3 = 15 \\ x_ 1 + 10x_ 2 + 2x_ 3 = 16 \\ x_ 1 + 2x_ 2 + 10x_ 3 = 13 \end{cases} \] 矩阵 \( A \) 满足对角占优（例如第一行：\( |10| > |2| + |1| \)）。 初始化解 ：设 \( \mathbf{x}^{(0)} = (0, 0, 0)^T \)。 第一次迭代 （\( k=0 \))： \( x_ 1^{(1)} = \frac{1}{10}(15 - 2 \cdot 0 - 1 \cdot 0) = 1.5 \) \( x_ 2^{(1)} = \frac{1}{10}(16 - 1 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = 1.6 \) \( x_ 3^{(1)} = \frac{1}{10}(13 - 1 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = 1.3 \) 更新解向量为 \( (1.5, 1.6, 1.3)^T \)。 第二次迭代 （\( k=1 \))： \( x_ 1^{(2)} = \frac{1}{10}(15 - 2 \cdot 1.6 - 1 \cdot 1.3) = 1.11 \) \( x_ 2^{(2)} = \frac{1}{10}(16 - 1 \cdot 1.5 - 2 \cdot 1.3) = 1.19 \) \( x_ 3^{(2)} = \frac{1}{10}(13 - 1 \cdot 1.5 - 2 \cdot 1.6) = 0.83 \) 解向量更新为 \( (1.11, 1.19, 0.83)^T \)。 继续迭代 直至满足收敛条件。例如，经过10次迭代后解接近精确解 \( (1, 1, 1)^T \)。 步骤6：收敛性分析 Jacobi迭代的收敛性由迭代矩阵 \( G = D^{-1}(L + U) \) 的谱半径（特征值的最大绝对值）决定。若谱半径 \( \rho(G) < 1 \)，则算法收敛。对角占优是充分条件之一。 关键点总结 Jacobi迭代法简单易实现，但收敛速度较慢（尤其对于非对角占优矩阵）。 每次迭代需保存前一次解向量，且所有分量可并行计算（因更新互不依赖）。 若对角元素为零，需通过行交换调整矩阵（如与高斯消元法结合）。