K-means聚类算法的原理与实现步骤
字数 785 2025-10-27 08:13:40

K-means聚类算法的原理与实现步骤

题目描述
K-means是一种经典的无监督学习算法，用于将数据集划分为K个簇。假设我们有一个包含N个数据点的数据集，每个数据点有d维特征。目标是找到K个簇中心，使得所有数据点到其所属簇中心的距离平方和最小。

解题过程

  1. 初始化簇中心

    • 随机选择K个数据点作为初始簇中心（质心）。
    • 例如，若K=3，从数据集中随机选取3个点作为初始质心μ₁、μ₂、μ₃。

  2. 分配数据点到最近簇

    • 计算每个数据点到所有质心的欧氏距离：

\[ d(x_i, \mu_k) = \sqrt{\sum_{j=1}^d (x_{ij} - \mu_{kj})^2} \]

  • 将每个数据点分配给距离最近的质心所在的簇。
  • 例如，若点x_i到μ₂的距离最小，则将x_i划入簇2。
  1. 更新簇中心
    • 重新计算每个簇的质心，取该簇所有数据点的均值：

\[ \mu_k = \frac{1}{|C_k|} \sum_{x_i \in C_k} x_i \]

  • 其中\(C_k\)是第k个簇的数据点集合，\(|C_k|\)是簇的大小。

  1. 迭代优化

    • 重复步骤2和步骤3，直到质心不再显著变化（例如，质心移动距离小于阈值）或达到最大迭代次数。
    • 此时算法收敛，得到最终的K个簇。

  2. 目标函数与收敛性

    • 目标是最小化平方误差和（SSE）：

\[ J = \sum_{k=1}^K \sum_{x_i \in C_k} \|x_i - \mu_k\|^2 \]

  • 由于每次迭代均降低SSE，算法必收敛（可能陷入局部最优）。

关键细节

  • K值选择：可通过肘部法则（SSE随K变化的拐点）或业务需求确定。
  • 初始敏感：多次随机初始化并选择SSE最小的结果，或使用K-means++优化初始化。
  • 距离度量：通常用欧氏距离，也可根据数据特性选择其他距离（如余弦相似度）。
K-means聚类算法的原理与实现步骤 题目描述 K-means是一种经典的无监督学习算法，用于将数据集划分为K个簇。假设我们有一个包含N个数据点的数据集，每个数据点有d维特征。目标是找到K个簇中心，使得所有数据点到其所属簇中心的距离平方和最小。 解题过程 初始化簇中心 随机选择K个数据点作为初始簇中心（质心）。 例如，若K=3，从数据集中随机选取3个点作为初始质心μ₁、μ₂、μ₃。 分配数据点到最近簇 计算每个数据点到所有质心的欧氏距离： \[ d(x_ i, \mu_ k) = \sqrt{\sum_ {j=1}^d (x_ {ij} - \mu_ {kj})^2} \] 将每个数据点分配给距离最近的质心所在的簇。 例如，若点x_ i到μ₂的距离最小，则将x_ i划入簇2。 更新簇中心 重新计算每个簇的质心，取该簇所有数据点的均值： \[ \mu_ k = \frac{1}{|C_ k|} \sum_ {x_ i \in C_ k} x_ i \] 其中\(C_ k\)是第k个簇的数据点集合，\(|C_ k|\)是簇的大小。 迭代优化 重复步骤2和步骤3，直到质心不再显著变化（例如，质心移动距离小于阈值）或达到最大迭代次数。 此时算法收敛，得到最终的K个簇。 目标函数与收敛性 目标是最小化平方误差和（SSE）： \[ J = \sum_ {k=1}^K \sum_ {x_ i \in C_ k} \|x_ i - \mu_ k\|^2 \] 由于每次迭代均降低SSE，算法必收敛（可能陷入局部最优）。 关键细节 K值选择 ：可通过肘部法则（SSE随K变化的拐点）或业务需求确定。 初始敏感 ：多次随机初始化并选择SSE最小的结果，或使用K-means++优化初始化。 距离度量 ：通常用欧氏距离，也可根据数据特性选择其他距离（如余弦相似度）。