决策树算法的构建与信息增益计算 题目描述 决策树是一种基于树结构的分类模型，其核心问题是如何选择最优划分属性。假设你有一组员工数据，包含年龄、学历、工作年限等特征，以及是否获得晋升的标签。需要构建决策树自动判断晋升可能性，请详细解释如何通过信息增益选择划分属性。 解题过程 1. 理解信息熵 定义 ：信息熵（Entropy）衡量数据集的混乱程度。若数据集 \( D \) 中第 \( k \) 类样本占比为 \( p_ k \)，则熵的计算公式为： \[ H(D) = -\sum_ {k=1}^{n} p_ k \log_ 2 p_ k \] 示例 ：假设晋升数据集有 10 个样本，其中 6 人晋升（正例），4 人未晋升（反例）。 \[ H(D) = -\left(\frac{6}{10} \log_ 2 \frac{6}{10} + \frac{4}{10} \log_ 2 \frac{4}{10}\right) \approx 0.971 \] 熵值越接近 1，数据越混乱。 2. 计算条件熵 目的 ：已知某个特征 \( A \)（如“学历”）的取值后，数据的不确定性。 步骤 ： 按特征 \( A \) 的取值（如“本科”“硕士”）将数据划分为子集 \( D_ 1, D_ 2, ... \)。 计算每个子集的熵 \( H(D_ i) \)。 加权求和： \[ H(D|A) = \sum_ {i=1}^{v} \frac{|D_ i|}{|D|} H(D_ i) \] 其中 \( v \) 是特征 \( A \) 的取值个数。 3. 信息增益公式 定义 ：特征 \( A \) 带来的信息增益是熵的减少量： \[ Gain(D, A) = H(D) - H(D|A) \] 选择标准 ：增益越大，说明用特征 \( A \) 划分后数据纯度提升越多。 4. 实例演算 假设数据如下（简化版）： | 年龄 | 学历 | 是否晋升 | |------|------|----------| | 青年 | 本科 | 否 | | 中年 | 硕士 | 是 | | 青年 | 硕士 | 是 | | 中年 | 博士 | 是 | 步骤 1：计算初始熵 \( H(D) \) 共 4 个样本，3 个“是”，1 个“否”： \[ H(D) = -\left(\frac{3}{4} \log_ 2 \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \log_ 2 \frac{1}{4}\right) \approx 0.811 \] 步骤 2：计算“学历”的条件熵 学历取值：本科（1 个样本）、硕士（2 个）、博士（1 个）。 子集熵值： 本科：1 个“否”，熵 \( H(D_ 1) = 0 \) 硕士：2 个“是”，熵 \( H(D_ 2) = 0 \) 博士：1 个“是”，熵 \( H(D_ 3) = 0 \) 条件熵： \[ H(D|学历) = \frac{1}{4} \times 0 + \frac{2}{4} \times 0 + \frac{1}{4} \times 0 = 0 \] 步骤 3：计算信息增益 \[ Gain(D, 学历) = 0.811 - 0 = 0.811 \] 步骤 4：比较其他特征（如“年龄”） 类似计算得 \( Gain(D, 年龄) = 0.311 \)。因 \( 0.811 > 0.311 \)，优先选择“学历”作为根节点划分特征。 5. 递归构建树 对每个子集重复上述过程，直到子集纯度达到阈值（如所有样本属于同一类）或无法继续划分。 关键点 信息增益偏好取值较多的特征（如“身份证号”），后续需用增益率（C4.5算法）修正。 若特征为连续值（如年龄），需先离散化（如划分为“青年/中年”）。