基于线性规划的鲁棒优化问题求解示例

问题描述
考虑一个生产计划问题：某工厂生产两种产品A和B，每吨产品A的利润为600元，每吨产品B的利润为400元。生产过程中需消耗两种原材料X和Y。每吨产品A消耗X和Y分别为2吨和1吨；每吨产品B消耗X和Y分别为1吨和3吨。原材料供应存在不确定性：X的实际供应量可能比预测值（10吨）低10%，Y的实际供应量可能比预测值（15吨）低20%。工厂需制定生产计划（产品A和B的产量），在任意供应波动下均满足约束，并最大化最小可能利润（鲁棒优化目标）。

数学模型
设产品A产量为 \(x_1 \geq 0\)，产品B产量为 \(x_2 \geq 0\)。考虑最坏情况下的资源约束：

1. 原材料X的供应量最低为 \(10 \times (1 - 0.1) = 9\) 吨，约束为：

\[ 2x_1 + x_2 \leq 9 \]

2. 原材料Y的供应量最低为 \(15 \times (1 - 0.2) = 12\) 吨，约束为：

\[ x_1 + 3x_2 \leq 12 \]

目标函数为最大化利润：

\[\max \, z = 600x_1 + 400x_2 \]

该问题转化为确定性线性规划问题。

求解步骤

1. 问题标准化
   将问题转化为标准形式（目标函数最大化，约束为≤）：

\[ \begin{aligned} \max \quad & 600x_1 + 400x_2 \\ \text{s.t.} \quad & 2x_1 + x_2 \leq 9 \\ & x_1 + 3x_2 \leq 12 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{aligned} \]

2. 约束条件可视化（图解法）

   • 约束1边界线：当 \(x_1 = 0\) 时 \(x_2 = 9\)；当 \(x_2 = 0\) 时 \(x_1 = 4.5\)。
   • 约束2边界线：当 \(x_1 = 0\) 时 \(x_2 = 4\)；当 \(x_2 = 0\) 时 \(x_1 = 12\)。
   • 可行域为两条直线下方与坐标轴围成的区域，顶点包括：
     \(O(0,0)\)、\(A(0,4)\)、\(B(3,3)\)（通过解方程组 \(2x_1 + x_2 = 9\) 和 \(x_1 + 3x_2 = 12\) 求得）、\(C(4.5,0)\)。

3. 顶点利润计算

   • \(O\): \(z = 0\)
   • \(A\): \(z = 600 \times 0 + 400 \times 4 = 1600\)
   • \(B\): \(z = 600 \times 3 + 400 \times 3 = 3000\)
   • \(C\): \(z = 600 \times 4.5 + 400 \times 0 = 2700\)

4. 最优解确定
   顶点B的利润最大，最优解为 \(x_1 = 3\) 吨，\(x_2 = 3\) 吨，最大利润为3000元。

鲁棒性验证
在最坏情况下（X供应9吨、Y供应12吨）：

• X消耗：\(2 \times 3 + 1 \times 3 = 9\)，恰好用完；
• Y消耗：\(1 \times 3 + 3 \times 3 = 12\)，恰好用完。
  该解在所有可能的供应波动下均可行，且保证了最小利润最大化。

结论
通过鲁棒优化方法，将不确定性转化为最坏场景下的确定性线性规划问题，确保了解决方案的可靠性。