非线性规划中的移动渐近线方法(MMA)基础题
字数 2550 2025-10-27 00:50:48

非线性规划中的移动渐近线方法(MMA)基础题

题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 \(f(x)1 = x^2 + \frac{1}{x}\)
约束条件：\(1 \leq x \leq 3\)。
使用移动渐近线方法（MMA）进行一次迭代，初始点 \(x_0 = 2\)，初始渐近线上下界为 \(L_0 = 1\)、\( U_0 = 3 \），并解释MMA如何通过构造保守的近似子问题逐步逼近原问题的最优解。

解题过程
MMA是一种序列凸近似算法，通过在当前迭代点构造凸且可分离的近似子问题，并逐步更新渐近线（移动边界）来逼近原问题。以下是详细迭代过程：

1. 原问题分析

  • 目标函数 \(f(x) = x^2 + \frac{1}{x}\) 在 \(x > 0\) 时为凸函数（二阶导数 \(f''(x) = 2 + \frac{2}{x^3} > 0\)），但MMA不要求原函数凸性。
  • 约束为简单边界约束 \(1 \leq x \leq 3\)，初始点 \(x_0 = 2\) 可行。

2. 构造第一次迭代的近似子问题
MMA在迭代点 \(x_0 = 2\) 处对 \(f(x)\) 进行凸近似：

  • 近似原理：对原函数中的非线性项，利用倒变量替换和线性化，构造凸近似函数。具体地，MMA使用形式为
    \(
    \tilde{f}(x) = \sum_i \left( \frac{p_i}{U_i - x} + \frac{q_i}{x - L_i} \right) + c
    \)
    的可分离函数，其中 \(L_i, U_i\) 为渐近线下界和上界，\(p_i, q_i\) 由函数在 \(x_0\) 处的梯度信息确定。
  • 计算梯度：首先求 \(f(x)\) 在 \(x_0 = 2\) 的导数：
    \(
    f'(x) = 2x - \frac{1}{x^2} \implies f'(2) = 4 - 0.25 = 3.75.
    \)
  • 确定近似函数参数：
    MMA的近似函数形式为 \(\tilde{f}(x) = \frac{p}{U_0 - x} + \frac{q}{x - L_0} + c\)，参数 \(p, q\) 需满足：
    （1）近似函数在 \(x_0\) 处与原函数值相等：\(\tilde{f}(2) = f(2)\)；
    （2）近似函数在 \(x_0\) 处梯度与原函数梯度相等：\(\tilde{f}'(2) = f'(2)\)。
    代入 \(L_0 = 1, U_0 = 3, x_0 = 2\)，计算原函数值：
    \(
    f(2) = 4 + 0.5 = 4.5.
    \)
    近似函数的梯度为：
    \(
    \tilde{f}'(x) = \frac{p}{(U_0 - x)^2} - \frac{q}{(x - L_0)^2} \implies \tilde{f}'(2) = \frac{p}{1} - \frac{q}{1} = p - q.
    \)
    由梯度相等得 \(p - q = 3.75\)。
    由函数值相等得 \(\frac{p}{1} + \frac{q}{1} + c = p + q + c = 4.5\)。
    但MMA通常通过设定 \(p\) 和 \(q\) 为非负值来保证凸性，常用规则为：
    • 若 \(f'(x_0) > 0\)，则设 \(p = (U_0 - x_0)^2 \cdot f'(x_0)\), \(q = 0\)；
    • 若 \(f'(x_0) < 0\)，则设 \(q = (x_0 - L_0)^2 \cdot |f'(x_0)|\), \(p = 0\)。
      此处 \(f'(2) = 3.75 > 0\)，故取
      \(
      p = (3 - 2)^2 \times 3.75 = 3.75, \quad q = 0.
      \)
      再通过函数值相等求 \(c\)：
      \(
      \tilde{f}(2) = \frac{3.75}{1} + 0 + c = 3.75 + c = 4.5 \implies c = 0.75.
      \)
      因此近似函数为：
      \(
      \tilde{f}(x) = \frac{3.75}{3 - x} + 0.75, \quad x \in [1, 3].
      \)

3. 求解近似子问题
最小化 \(\tilde{f}(x) = \frac{3.75}{3 - x} + 0.75\)，约束 \(1 \leq x \leq 3\)。

  • \(\tilde{f}(x)\) 在 \([1, 3)\) 内是凸函数（分母线性，整体为凸），最小值在梯度为零或边界处。
  • 求导：\(\tilde{f}'(x) = \frac{3.75}{(3 - x)^2} > 0\)，说明函数单调递增，最小值在左边界 \(x = 1\) 处。
  • 计算 \(x = 1\) 的值：\(\tilde{f}(1) = \frac{3.75}{2} + 0.75 = 2.625\)。
    因此子问题解为 \(x_1 = 1\)。

4. 更新渐近线并进行下一步（简要说明）

  • 实际MMA中，每次迭代后会更新渐近线 \(L_k, U_k\) 以避免近似过于激进（例如根据规则收缩边界，防止跳跃过大）。
  • 之后以 \(x_1 = 1\) 为新迭代点，重新构造近似函数并求解，重复直至收敛。
  • 本例中，一次迭代后 \(x_1 = 1\) 已接近原问题真实最优解（通过求导 \(f'(x) = 0\) 可得最优解 \(x^* \approx 1.26\)，约束下为 \(x = 1.26\)，但边界 \(x = 1\) 因约束可能成为最优，需进一步验证）。

5. MMA的核心优势

  • 通过渐近线控制近似函数的弯曲程度，保证子问题凸且可分离，适合处理复杂非线性问题。
  • 渐近线更新策略（如根据迭代点移动）平衡了收敛速度和稳定性。
非线性规划中的移动渐近线方法(MMA)基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 \( f(x)1 = x^2 + \frac{1}{x} \) 约束条件：\( 1 \leq x \leq 3 \)。 使用移动渐近线方法（MMA）进行一次迭代，初始点 \( x_ 0 = 2 \)，初始渐近线上下界为 \( L_ 0 = 1 \)、\( U_ 0 = 3 \），并解释MMA如何通过构造保守的近似子问题逐步逼近原问题的最优解。 解题过程 MMA是一种序列凸近似算法，通过在当前迭代点构造凸且可分离的近似子问题，并逐步更新渐近线（移动边界）来逼近原问题。以下是详细迭代过程： 1. 原问题分析 目标函数 \( f(x) = x^2 + \frac{1}{x} \) 在 \( x > 0 \) 时为凸函数（二阶导数 \( f''(x) = 2 + \frac{2}{x^3} > 0 \)），但MMA不要求原函数凸性。 约束为简单边界约束 \( 1 \leq x \leq 3 \)，初始点 \( x_ 0 = 2 \) 可行。 2. 构造第一次迭代的近似子问题 MMA在迭代点 \( x_ 0 = 2 \) 处对 \( f(x) \) 进行凸近似： 近似原理 ：对原函数中的非线性项，利用倒变量替换和线性化，构造凸近似函数。具体地，MMA使用形式为 \( \tilde{f}(x) = \sum_ i \left( \frac{p_ i}{U_ i - x} + \frac{q_ i}{x - L_ i} \right) + c \) 的可分离函数，其中 \( L_ i, U_ i \) 为渐近线下界和上界，\( p_ i, q_ i \) 由函数在 \( x_ 0 \) 处的梯度信息确定。 计算梯度 ：首先求 \( f(x) \) 在 \( x_ 0 = 2 \) 的导数： \( f'(x) = 2x - \frac{1}{x^2} \implies f'(2) = 4 - 0.25 = 3.75. \) 确定近似函数参数 ： MMA的近似函数形式为 \( \tilde{f}(x) = \frac{p}{U_ 0 - x} + \frac{q}{x - L_ 0} + c \)，参数 \( p, q \) 需满足： （1）近似函数在 \( x_ 0 \) 处与原函数值相等：\( \tilde{f}(2) = f(2) \)； （2）近似函数在 \( x_ 0 \) 处梯度与原函数梯度相等：\( \tilde{f}'(2) = f'(2) \)。 代入 \( L_ 0 = 1, U_ 0 = 3, x_ 0 = 2 \)，计算原函数值： \( f(2) = 4 + 0.5 = 4.5. \) 近似函数的梯度为： \( \tilde{f}'(x) = \frac{p}{(U_ 0 - x)^2} - \frac{q}{(x - L_ 0)^2} \implies \tilde{f}'(2) = \frac{p}{1} - \frac{q}{1} = p - q. \) 由梯度相等得 \( p - q = 3.75 \)。 由函数值相等得 \( \frac{p}{1} + \frac{q}{1} + c = p + q + c = 4.5 \)。 但MMA通常通过设定 \( p \) 和 \( q \) 为非负值来保证凸性，常用规则为： 若 \( f'(x_ 0) > 0 \)，则设 \( p = (U_ 0 - x_ 0)^2 \cdot f'(x_ 0) \), \( q = 0 \)； 若 \( f'(x_ 0) < 0 \)，则设 \( q = (x_ 0 - L_ 0)^2 \cdot |f'(x_ 0)| \), \( p = 0 \)。 此处 \( f'(2) = 3.75 > 0 \)，故取 \( p = (3 - 2)^2 \times 3.75 = 3.75, \quad q = 0. \) 再通过函数值相等求 \( c \)： \( \tilde{f}(2) = \frac{3.75}{1} + 0 + c = 3.75 + c = 4.5 \implies c = 0.75. \) 因此近似函数为： \( \tilde{f}(x) = \frac{3.75}{3 - x} + 0.75, \quad x \in [ 1, 3 ]. \) 3. 求解近似子问题 最小化 \( \tilde{f}(x) = \frac{3.75}{3 - x} + 0.75 \)，约束 \( 1 \leq x \leq 3 \)。 \( \tilde{f}(x) \) 在 \( [ 1, 3) \) 内是凸函数（分母线性，整体为凸），最小值在梯度为零或边界处。 求导：\( \tilde{f}'(x) = \frac{3.75}{(3 - x)^2} > 0 \)，说明函数单调递增，最小值在左边界 \( x = 1 \) 处。 计算 \( x = 1 \) 的值：\( \tilde{f}(1) = \frac{3.75}{2} + 0.75 = 2.625 \)。 因此子问题解为 \( x_ 1 = 1 \)。 4. 更新渐近线并进行下一步（简要说明） 实际MMA中，每次迭代后会更新渐近线 \( L_ k, U_ k \) 以避免近似过于激进（例如根据规则收缩边界，防止跳跃过大）。 之后以 \( x_ 1 = 1 \) 为新迭代点，重新构造近似函数并求解，重复直至收敛。 本例中，一次迭代后 \( x_ 1 = 1 \) 已接近原问题真实最优解（通过求导 \( f'(x) = 0 \) 可得最优解 \( x^* \approx 1.26 \)，约束下为 \( x = 1.26 \)，但边界 \( x = 1 \) 因约束可能成为最优，需进一步验证）。 5. MMA的核心优势 通过渐近线控制近似函数的弯曲程度，保证子问题凸且可分离，适合处理复杂非线性问题。 渐近线更新策略（如根据迭代点移动）平衡了收敛速度和稳定性。