非线性规划中的移动渐近线方法(MMA)基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 3)² + (x₂ - 4)² 满足约束条件： g₁(x) = x₁² + x₂² - 25 ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₂(x) = -x₂ ≤ 0 x₀ = (1, 1) 作为初始点 这是一个带不等式约束的非线性优化问题，目标函数是二次函数，约束条件包含非线性约束和简单边界约束。 解题过程 1. 方法原理介绍 移动渐近线方法(MMA)是一种序列凸近似算法，特别适用于求解具有复杂约束的非线性规划问题。其核心思想是： 在当前迭代点构造凸可分离的近似子问题 通过求解一系列近似子问题逐步逼近原问题的最优解 使用移动的渐近线来控制近似的保守性 2. 构造近似子问题 在第k次迭代时，MMA对原函数进行如下近似： 对于目标函数f(x)的近似： f̃(x) = Σ[ pᵢ/(Uᵢ - xᵢ) + qᵢ/(xᵢ - Lᵢ) ] 对于约束函数gⱼ(x)的近似： g̃ⱼ(x) = Σ[ rⱼᵢ/(Uᵢ - xᵢ) + sⱼᵢ/(xᵢ - Lᵢ) ] 其中Lᵢ和Uᵢ是移动的渐近线，需要谨慎选择以保证近似的凸性和保守性。 3. 选择渐近线参数 在点x₀ = (1,1)处，我们设置初始渐近线： Lᵢ = xᵢ⁽ᵏ⁾ - 0.5(xᵢ⁽ᵏ⁾ - 下界) Uᵢ = xᵢ⁽ᵏ⁾ + 0.5(上界 - xᵢ⁽ᵏ⁾) 对于我们的问题，设下界为0，上界为5，则： L₁ = 1 - 0.5(1-0) = 0.5, U₁ = 1 + 0.5(5-1) = 3 L₂ = 0.5, U₂ = 3 4. 计算近似系数 通过匹配原函数和近似函数在x⁽ᵏ⁾处的函数值和梯度值来确定系数。 对于f(x)在x₀ = (1,1)处： f(1,1) = (1-3)² + (1-4)² = 13 ∇f(1,1) = [ 2(1-3), 2(1-4)] = [ -4, -6 ] 通过求解线性方程组得到近似系数，确保函数值和梯度匹配。 5. 求解近似子问题 构造的凸近似子问题为： 最小化 f̃(x) 满足 g̃₁(x) ≤ 0, g̃₂(x) ≤ 0, g̃₃(x) ≤ 0 x ∈ [ 0,5 ]² 这是一个凸可分离的优化问题，可以用对偶方法或专门算法高效求解。 6. 更新迭代点 求解近似子问题得到新点x⁽¹⁾，检查收敛条件： ||x⁽¹⁾ - x⁽⁰⁾|| < ε 或 目标函数改进很小 如果不收敛，更新渐近线位置，返回步骤2继续迭代。 7. 收敛性分析 MMA算法在适当条件下具有全局收敛性，通过控制渐近线的移动速度，可以保证算法稳定收敛到局部最优解。