高斯-切比雪夫求积公式的误差分析 题目描述 高斯-切比雪夫求积公式用于计算形如 \( \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) 的积分，其节点为切比雪夫多项式 \( T_ n(x) \) 的零点，权重为常数 \( \pi/n \)。本题要求分析该公式的截断误差，即推导误差项 \( E_ n(f) \) 的表达式，并讨论其收敛性。 解题过程 公式基本形式回顾 高斯-切比雪夫求积公式的节点为： \[ x_ k = \cos\left( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right), \quad k=1,2,\dots,n, \] 权重为 \( w_ k = \pi/n \)。积分近似公式为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} f(x_ k). \] 误差项的推导思路 误差 \( E_ n(f) \) 定义为积分真值与近似值之差。由于该公式是高斯型求积公式，其代数精度为 \( 2n-1 \)，即对次数不高于 \( 2n-1 \) 的多项式精确成立。误差可通过插值余项分析得到： 用 \( n \) 次切比雪夫多项式 \( T_ n(x) \) 的零点插值 \( f(x) \)，得到插值多项式 \( p_ {n-1}(x) \)（次数不高于 \( n-1 \)）。 积分误差来源于插值余项 \( f(x) - p_ {n-1}(x) \) 的积分。 插值余项表达式 插值余项为： \[ f(x) - p_ {n-1}(x) = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!} \prod_ {k=1}^{n} (x - x_ k), \] 其中 \( \xi \in (-1,1) \)。注意到 \( \prod_ {k=1}^{n} (x - x_ k) = \frac{T_ n(x)}{2^{n-1}} \)，因为 \( T_ n(x) \) 的首项系数为 \( 2^{n-1} \)。 误差项积分形式 将余项乘以权函数 \( 1/\sqrt{1-x^2} \) 后积分： \[ E_ n(f) = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x) - p_ {n-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \frac{1}{2^{n-1} n!} \int_ {-1}^{1} \frac{f^{(n)}(\xi) T_ n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx. \] 由于 \( \xi \) 依赖于 \( x \)，直接处理较复杂。但利用高斯型求积的性质，误差可精确表示为： \[ E_ n(f) = \frac{\pi}{2^{2n-1} (2n) !} f^{(2n)}(\eta), \quad \eta \in (-1,1). \] 这一结果源于：高斯求积的误差公式为 \( E_ n(f) = \frac{f^{(2n)}(\eta)}{(2n)!} \int_ {-1}^{1} \frac{[ T_ n(x)]^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)，其中 \( \int_ {-1}^{1} \frac{T_ n^2(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \frac{\pi}{2^{2n-1}} \)。 收敛性分析 若 \( f(x) \) 在 \( [ -1,1] \) 上无限次可微，误差随 \( n \) 增大以指数速度衰减，因为 \( 2^{2n} \) 增长远快于 \( (2n) ! \)。 若 \( f(x) \) 是解析函数（可延拓到复平面上的某个区域），误差衰减速度与解析区域的大小相关。 对于光滑性较差的函数，需具体分析 \( f^{(2n)}(\eta) \) 的增长速度。 实际应用中的启示 误差公式表明，高斯-切比雪夫公式对光滑函数效率极高。 若 \( f(x) \) 在端点处有奇性（如不可导），需谨慎使用，因公式依赖区间内的光滑性。 可通过增加节点数 \( n \) 快速提升精度，尤其适用于高振荡积分或需要高精度的场景。 通过以上步骤，我们得到了误差的显式表达式，并理解了其收敛特性。