高斯-勒让德求积公式的权重与节点计算
题目描述
高斯-勒让德求积公式是一种数值积分方法，用于计算定积分 \(\int_{-1}^{1} f(x) \, dx\) 的近似值。其核心思想是通过选择一组最优的节点 \(x_i\) 和权重 \(w_i\)，使得公式对不超过 \(2n-1\) 次的多项式精确成立。本题要求详细解释如何计算 \(n\) 点高斯-勒让德公式的节点和权重。
步骤1：理解公式的数学基础
高斯-勒让德公式的形式为：
\[\int_{-1}^{1} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \]
其中：
- 节点 \(x_i\) 是 \(n\) 次勒让德多项式 \(P_n(x)\) 的根（均在 \([-1, 1]\) 内）。
- 权重 \(w_i\) 由公式 \(w_i = \frac{2}{(1-x_i^2)[P_n'(x_i)]^2}\) 计算。
关键点：勒让德多项式是正交多项式族，满足 \(\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) \, dx = 0\)（当 \(m \neq n\)）。
步骤2：计算勒让德多项式的根
以 \(n=3\) 为例，演示计算过程：
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写出勒让德多项式：
- \(P_0(x) = 1\)
- \(P_1(x) = x\)
- \(P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)\)
- \(P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)\)
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求 \(P_3(x)\) 的根：
解方程 \(5x^3 - 3x = 0\)：
\[ x(5x^2 - 3) = 0 \implies x = 0, \quad x = \pm \sqrt{\frac{3}{5}} \]
因此节点为 \(x_1 = -\sqrt{3/5}, x_2 = 0, x_3 = \sqrt{3/5}\)。
步骤3：计算权重
权重公式为 \(w_i = \frac{2}{(1-x_i^2)[P_n'(x_i)]^2}\)。
- 计算 \(P_3'(x)\)：
\[ P_3'(x) = \frac{1}{2}(15x^2 - 3) \]
- 对每个节点计算权重：
- 对于 \(x_1 = -\sqrt{3/5}\)：
\[ P_3'(x_1) = \frac{1}{2}\left(15 \cdot \frac{3}{5} - 3\right) = \frac{1}{2}(9 - 3) = 3 \]
\[ w_1 = \frac{2}{(1 - 3/5) \cdot 3^2} = \frac{2}{(2/5) \cdot 9} = \frac{5}{9} \]
- 对于 \(x_2 = 0\)：
\[ P_3'(0) = \frac{1}{2}(-3) = -\frac{3}{2}, \quad w_2 = \frac{2}{(1-0) \cdot (9/4)} = \frac{8}{9} \]
- 对于 \(x_3 = \sqrt{3/5}\)：
\[ w_3 = w_1 = \frac{5}{9} \quad (\text{对称性}) \]
步骤4：通用计算方法
对于更大的 \(n\)，需数值求解勒让德多项式的根（如牛顿迭代法），并利用递推关系简化计算：
- 勒让德多项式递推关系：
\[ (n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x) \]
- 节点迭代：以 \(P_n(x)\) 的近似根为初值，用牛顿法迭代：
\[ x_{\text{new}} = x_{\text{old}} - \frac{P_n(x_{\text{old}})}{P_n'(x_{\text{old}})} \]
其中 \(P_n'(x)\) 可通过递推关系计算。
3. 权重计算：利用公式 \(w_i = \frac{2}{(1-x_i^2)[P_n'(x_i)]^2}\) 或更稳定的替代公式：
\[ w_i = \frac{2}{(1-x_i^2)[P_{n-1}(x_i)]^2} \]
（由正交性推导得到）。
步骤5：验证与误差分析
- 验证：对 \(f(x) = x^2\) 测试 \(n=2\) 的公式（应精确积分）。
- 误差公式：
\[ E = \frac{2^{2n+1} (n!)^4}{(2n+1)[(2n)!]^3} f^{(2n)}(\xi), \quad \xi \in (-1,1) \]
说明高斯公式对高次多项式的高精度特性。
通过以上步骤，可系统化计算任意 \(n\) 的高斯-勒让德节点与权重，并理解其数学原理。