区间内最大连续和查询（基于线段树的分治方法） 题目描述 给定一个整数数组，需要处理两种操作： 更新操作 ：修改数组中某个位置的值。 查询操作 ：查询某个区间内的最大连续子数组和（即该区间内连续元素的和的最大值）。 例如，数组 [1, -3, 2, 4, -1] 中，区间 [0, 4] 的最大连续和为 6 （子数组 [2, 4] 的和）。要求设计一个高效算法，支持多次更新和查询操作。 解题过程 步骤1：理解问题难点 直接暴力计算每次查询需要 O(n²) 时间（枚举所有子数组），但若频繁查询和更新，效率极低。目标是将每次查询和更新优化到 O(log n) 时间，需借助线段树（Segment Tree）并维护特殊信息。 步骤2：线段树节点设计 每个节点代表一个区间 [l, r] ，存储以下四个值： sum ：区间内所有元素的和。 maxPrefix ：区间内最大前缀和（从 l 开始的连续子数组和的最大值）。 maxSuffix ：区间内最大后缀和（以 r 结尾的连续子数组和的最大值）。 maxSum ：区间内最大连续子数组和。 例如，区间 [2, 4, -1] 的四个值分别为： sum = 5 maxPrefix = 6 （从首元素开始的最大和是 2+4=6 ） maxSuffix = 5 （以末元素结束的最大和是 4+(-1)+2? 错误！正确计算：后缀包括自身，因此从右向左累加， -1+4+2=5 ） maxSum = 6 （子数组 [2,4] 的和）。 步骤3：合并左右子区间 设左子节点 L 代表 [l, mid] ，右子节点 R 代表 [mid+1, r] ，父节点 P 的值计算如下： P.sum = L.sum + R.sum P.maxPrefix = max(L.maxPrefix, L.sum + R.maxPrefix) （最大前缀要么在左半部分，要么跨越左右两部分） P.maxSuffix = max(R.maxSuffix, R.sum + L.maxSuffix) （最大后缀要么在右半部分，要么跨越左右两部分） P.maxSum = max(L.maxSum, R.maxSum, L.maxSuffix + R.maxPrefix) （最大连续和可能完全在左半、完全在右半，或跨越中间边界）。 步骤4：建树与初始化 叶子节点：区间长度为1时， sum = maxPrefix = maxSuffix = maxSum = 单元素值 。 递归构建左右子树，然后按步骤3合并。 时间复杂度：O(n)。 步骤5：更新操作 从叶子节点开始更新值，向上递归更新父节点，每次按步骤3重新计算四个值。 时间复杂度：O(log n)。 步骤6：查询操作 查询区间可能覆盖多个节点，需递归合并部分区间。 若查询区间完全覆盖当前节点，直接返回该节点的四个值。 若查询区间部分覆盖左右子树，分别查询左右子树，得到 L 和 R 后，按步骤3合并为一个节点返回。 时间复杂度：O(log n)。 步骤7：示例验证 数组 [1, -3, 2, 4, -1] 查询 [0,4] ： 递归合并所有叶子节点后，根节点的 maxSum=6 （对应子数组 [2,4] ）。 若更新索引2的值为 3 ，数组变为 [1,-3,3,4,-1] ，重新计算后 [0,4] 的 maxSum=7 （子数组 [3,4] ）。 总结 通过线段树维护每个区间的四个关键值，将动态区间最大连续和问题转化为 O(log n) 的更新和查询，适用于需要频繁操作的场景。