非线性规划中的Barrier函数法基础题
字数 2048 2025-10-26 19:15:22

非线性规划中的Barrier函数法基础题

题目描述
考虑一个简单的非线性规划问题：
最小化 \(f(x)1 = x_1^2 + x_2^2\)
满足约束 \(g(x) = x_1 + x_2 - 1 \geq 0\)。
使用Barrier函数法（也称内点法的一种）求解该问题，初始点选在可行域内部（如 \(x^{(0)} = (2, 2)\)），Barrier参数序列取 \(\mu_k = 0.1^k\)，迭代直到 \(\mu_k < 10^{-3}\)。

解题过程

1. 方法原理介绍
Barrier函数法的核心思想是将约束问题转化为一系列无约束问题。对于不等式约束 \(g(x) \geq 0\)，在可行域内部定义Barrier函数（如对数Barrier：\(B(x) = -\sum \ln(g_i(x))\)），将原问题转化为：
最小化 \(\phi(x, \mu) = f(x) - \mu \sum \ln(g_i(x))\)，其中 \(\mu > 0\) 是Barrier参数。
当 \(\mu \to 0^+\) 时，无约束问题的最优解逼近原问题的最优解。每一步需在固定 \(\mu_k\) 下求解无约束子问题。

2. 问题转化
对本问题，约束 \(g(x) = x_1 + x_2 - 1 \geq 0\)，Barrier函数为 \(B(x) = -\ln(x_1 + x_2 - 1)\)。
构造辅助函数：

\[\phi(x, \mu) = x_1^2 + x_2^2 - \mu \ln(x_1 + x_2 - 1) \]

要求每一步在 \(x_1 + x_2 > 1\) 的区域内最小化 \(\phi(x, \mu_k)\)。

3. 求解无约束子问题（以 \(\mu_k = 0.1\) 为例）
步骤3.1 计算梯度
对 \(\phi(x, \mu)\) 求偏导：

\[\frac{\partial \phi}{\partial x_1} = 2x_1 - \mu \cdot \frac{1}{x_1 + x_2 - 1}, \quad \frac{\partial \phi}{\partial x_2} = 2x_2 - \mu \cdot \frac{1}{x_1 + x_2 - 1} \]

令梯度为零：

\[2x_1 = \frac{\mu}{x_1 + x_2 - 1}, \quad 2x_2 = \frac{\mu}{x_1 + x_2 - 1} \]

两式相减得 \(x_1 = x_2\)。代入第一式：

\[2x_1 = \frac{\mu}{2x_1 - 1} \implies 4x_1^2 - 2x_1 - \mu = 0 \]

步骤3.2 解析求解
解二次方程：

\[x_1 = \frac{2 + \sqrt{4 + 16\mu}}{8} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4\mu}}{4} \]

取正根（因需满足 \(x_1 + x_2 > 1\)）。
当 \(\mu = 0.1\) 时：

\[x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 + 0.4}}{4} \approx \frac{1 + 1.1832}{4} = 0.5458 \]

故 \(x^{(1)} = (0.5458, 0.5458)\)。

4. 迭代过程
步骤4.1 第二次迭代（\(\mu_1 = 0.01\))
代入公式：

\[x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 + 0.04}}{4} \approx \frac{1 + 1.0198}{4} = 0.50495 \]

得 \(x^{(2)} = (0.5050, 0.5050)\)。

步骤4.2 第三次迭代（\(\mu_2 = 0.001\))

\[x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 + 0.004}}{4} \approx \frac{1 + 1.0020}{4} = 0.5005 \]

得 \(x^{(3)} = (0.5005, 0.5005)\)。

5. 结果分析

  • 最优解逼近：理论最优解在 \(x_1 = x_2 = 0.5\)（约束边界 \(x_1 + x_2 = 1\) 上），迭代结果逐渐接近该点。
  • 收敛性：随着 \(\mu \to 0\)，Barrier项的影响减小，解趋近原问题最优解。
  • 可行性：每一步均满足严格内点条件 \(x_1 + x_2 > 1\)。

总结：Barrier函数法通过逐步减小 \(\mu\)，将内点路径引向边界上的最优解，适合处理不等式约束问题。

非线性规划中的Barrier函数法基础题 题目描述 考虑一个简单的非线性规划问题： 最小化 \( f(x)1 = x_ 1^2 + x_ 2^2 \) 满足约束 \( g(x) = x_ 1 + x_ 2 - 1 \geq 0 \)。 使用Barrier函数法（也称内点法的一种）求解该问题，初始点选在可行域内部（如 \( x^{(0)} = (2, 2) \)），Barrier参数序列取 \( \mu_ k = 0.1^k \)，迭代直到 \( \mu_ k < 10^{-3} \)。 解题过程 1. 方法原理介绍 Barrier函数法的核心思想是将约束问题转化为一系列无约束问题。对于不等式约束 \( g(x) \geq 0 \)，在可行域内部定义Barrier函数（如对数Barrier：\( B(x) = -\sum \ln(g_ i(x)) \)），将原问题转化为： 最小化 \( \phi(x, \mu) = f(x) - \mu \sum \ln(g_ i(x)) \)，其中 \( \mu > 0 \) 是Barrier参数。 当 \( \mu \to 0^+ \) 时，无约束问题的最优解逼近原问题的最优解。每一步需在固定 \( \mu_ k \) 下求解无约束子问题。 2. 问题转化 对本问题，约束 \( g(x) = x_ 1 + x_ 2 - 1 \geq 0 \)，Barrier函数为 \( B(x) = -\ln(x_ 1 + x_ 2 - 1) \)。 构造辅助函数： \[ \phi(x, \mu) = x_ 1^2 + x_ 2^2 - \mu \ln(x_ 1 + x_ 2 - 1) \] 要求每一步在 \( x_ 1 + x_ 2 > 1 \) 的区域内最小化 \( \phi(x, \mu_ k) \)。 3. 求解无约束子问题（以 \( \mu_ k = 0.1 \) 为例） 步骤3.1 计算梯度 对 \( \phi(x, \mu) \) 求偏导： \[ \frac{\partial \phi}{\partial x_ 1} = 2x_ 1 - \mu \cdot \frac{1}{x_ 1 + x_ 2 - 1}, \quad \frac{\partial \phi}{\partial x_ 2} = 2x_ 2 - \mu \cdot \frac{1}{x_ 1 + x_ 2 - 1} \] 令梯度为零： \[ 2x_ 1 = \frac{\mu}{x_ 1 + x_ 2 - 1}, \quad 2x_ 2 = \frac{\mu}{x_ 1 + x_ 2 - 1} \] 两式相减得 \( x_ 1 = x_ 2 \)。代入第一式： \[ 2x_ 1 = \frac{\mu}{2x_ 1 - 1} \implies 4x_ 1^2 - 2x_ 1 - \mu = 0 \] 步骤3.2 解析求解 解二次方程： \[ x_ 1 = \frac{2 + \sqrt{4 + 16\mu}}{8} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4\mu}}{4} \] 取正根（因需满足 \( x_ 1 + x_ 2 > 1 \)）。 当 \( \mu = 0.1 \) 时： \[ x_ 1 = \frac{1 + \sqrt{1 + 0.4}}{4} \approx \frac{1 + 1.1832}{4} = 0.5458 \] 故 \( x^{(1)} = (0.5458, 0.5458) \)。 4. 迭代过程 步骤4.1 第二次迭代（\( \mu_ 1 = 0.01 \)) 代入公式： \[ x_ 1 = \frac{1 + \sqrt{1 + 0.04}}{4} \approx \frac{1 + 1.0198}{4} = 0.50495 \] 得 \( x^{(2)} = (0.5050, 0.5050) \)。 步骤4.2 第三次迭代（\( \mu_ 2 = 0.001 \)) \[ x_ 1 = \frac{1 + \sqrt{1 + 0.004}}{4} \approx \frac{1 + 1.0020}{4} = 0.5005 \] 得 \( x^{(3)} = (0.5005, 0.5005) \)。 5. 结果分析 最优解逼近：理论最优解在 \( x_ 1 = x_ 2 = 0.5 \)（约束边界 \( x_ 1 + x_ 2 = 1 \) 上），迭代结果逐渐接近该点。 收敛性：随着 \( \mu \to 0 \)，Barrier项的影响减小，解趋近原问题最优解。 可行性：每一步均满足严格内点条件 \( x_ 1 + x_ 2 > 1 \)。 总结 ：Barrier函数法通过逐步减小 \( \mu \)，将内点路径引向边界上的最优解，适合处理不等式约束问题。