基于线性规划的图最小费用流问题的分数规划Dinkelbach算法求解示例
题目描述
我们考虑一个带权有向图 \(G = (V, E)\)，每条边 \(e \in E\) 有两个属性：
- 容量 \(u_e \geq 0\)（表示该边能承载的最大流量）；
- 费用 \(c_e \in \mathbb{R}\)（表示单位流量通过该边产生的成本）。
此外，图中存在一个源点 \(s \in V\) 和一个汇点 \(t \in V\)，我们需要从 \(s\) 向 \(t\) 输送一定的流量 \(d\)（需求流量）。问题的目标是找到满足流量需求的一个可行流，且使得总费用与总流量的比值最小化，即最小化 “单位流量的平均成本”。这就是一个 分数规划（Fractional Programming） 形式的 最小费用流问题。
具体而言，设 \(f_e\) 表示边 \(e\) 上的流量，则数学模型为：
\[\min \quad \frac{\sum_{e \in E} c_e f_e}{\sum_{e \in E} f_e} \]
约束条件为：
- 流量平衡（除源汇外）：
\[ \sum_{e \in \delta^+(v)} f_e - \sum_{e \in \delta^-(v)} f_e = \begin{cases} d, & \text{if } v = s \\ -d, & \text{if } v = t \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \]
其中 \(\delta^+(v)\) 表示从 \(v\) 出发的边集，\(\delta^-(v)\) 表示进入 \(v\) 的边集。
2. 容量限制：
\[ 0 \leq f_e \leq u_e, \quad \forall e \in E. \]
- 总流量为正：
\[ \sum_{e \in E} f_e \geq d > 0. \]
这是一个典型的 线性分数规划 问题，因为目标函数是线性函数的比值，而约束都是线性的。我们将使用 Dinkelbach 算法 将其转化为一系列普通的线性规划（最小费用流问题）来求解。
解题过程循序渐进讲解
第一步：理解分数规划的结构
分数规划的一般形式为：
\[\min_{x \in S} \frac{p(x)}{q(x)}, \]
其中 \(p(x)\) 和 \(q(x)\) 是线性函数，\(S\) 是一个凸集（这里是多面体）。在我们的问题中：
\[p(f) = \sum_{e} c_e f_e, \quad q(f) = \sum_{e} f_e. \]
由于总流量 \(\sum_{e} f_e = d\)（固定值），你可能会有疑问：总流量是否固定？注意在我们的模型里，总流量并不是固定为 \(d\)，因为流量平衡约束只保证了从 \(s\) 流出的净流量为 \(d\)，但图中可能存在环流（cycles），使得总流量 \(\sum_{e} f_e\) 可能大于 \(d\)。因此 \(q(f)\) 是变量，不能简化为常数。
第二步：Dinkelbach 算法的核心思想
Dinkelbach 算法是求解分数规划的一种经典方法。它基于如下观察：
设最优比值为 \(\lambda^* = \min_{f \in \mathcal{F}} \frac{p(f)}{q(f)}\)，其中 \(\mathcal{F}\) 是可行域。定义辅助函数：
\[F(\lambda) = \min_{f \in \mathcal{F}} \{ p(f) - \lambda q(f) \}. \]
则 \(F(\lambda)\) 是 \(\lambda\) 的连续凸函数，且具有性质：
- 若 \(F(\lambda) < 0\)，则 \(\lambda > \lambda^*\)；
- 若 \(F(\lambda) = 0\)，则 \(\lambda = \lambda^*\)；
- 若 \(F(\lambda) > 0\)，则 \(\lambda < \lambda^*\)。
因此，我们可以通过迭代更新 \(\lambda\)，并求解子问题 \(\min_{f \in \mathcal{F}} \{ p(f) - \lambda q(f) \}\) 来逼近 \(\lambda^*\)。
第三步：将原问题转化为迭代子问题
在我们的模型中，子问题为：
\[\min_{f} \sum_{e \in E} c_e f_e - \lambda \sum_{e \in E} f_e \]
即：
\[\min_{f} \sum_{e \in E} (c_e - \lambda) f_e. \]
约束条件与原问题相同（流量平衡、容量限制）。这恰好是一个 带有修正边费用 的普通最小费用流问题！因为目标函数和约束都是线性的，且流量平衡和容量限制构成一个网络流问题的多面体。
第四步：Dinkelbach 算法步骤
- 初始化 \(\lambda_0\)（可以设为某个猜测值，例如 \(\lambda_0 = 0\)）。
- 在第 \(k\) 次迭代中，求解子问题：
\[ f^{(k)} = \arg\min_{f \in \mathcal{F}} \sum_{e \in E} (c_e - \lambda_k) f_e. \]
即求解一个以 \(\tilde{c}_e = c_e - \lambda_k\) 为边费用的最小费用流问题。
3. 计算当前比值 \(r_k = \frac{p(f^{(k)})}{q(f^{(k)})} = \frac{\sum_{e} c_e f_e^{(k)}}{\sum_{e} f_e^{(k)}}\)。
4. 如果 \(p(f^{(k)}) - \lambda_k q(f^{(k)}) = 0\)（或足够接近 0），则停止，\(\lambda_k\) 即为最优比值 \(\lambda^*\)。
5. 否则，更新 \(\lambda_{k+1} = r_k\)，返回步骤 2。
注意：在步骤 2 中，子问题是最小费用流问题，可以用多种多项式时间算法求解（如网络单纯形法、容量缩放算法等）。
第五步：实例演示
考虑一个简单有向图（V={s, a, t}, E={e1=(s,a), e2=(a,t), e3=(s,t)}）：
- 边容量：\(u_{e1}=4, u_{e2}=3, u_{e3}=2\)。
- 边费用：\(c_{e1}=1, c_{e2}=2, c_{e3}=5\)。
- 需求流量：\(d=3\)。
我们希望最小化单位流量的平均成本。
迭代过程：
-
初始化 \(\lambda_0 = 0\)。
- 子问题边费用：\(\tilde{c}_{e1}=1, \tilde{c}_{e2}=2, \tilde{c}_{e3}=5\)。
- 求解最小费用流（需求 3）：最优流为：走 e1 流量 3，e2 流量 3（但 e2 容量仅 3，可行），e3 流量 0。总费用 \(p = 1×3 + 2×3 = 9\)，总流量 \(q = 6\)（注意：因为从 s 到 a 到 t 的路径上，流量 3 被两条边重复计数？等一下——这里需要明确：总流量 \(\sum_e f_e\) 是各边流量之和，即 3+3+0=6，没错）。
- 当前比值 \(r_0 = 9/6 = 1.5\)。
- 检查 \(p - \lambda_0 q = 9 - 0×6 = 9 > 0\)，所以 \(\lambda_0 < \lambda^*\)。
- 更新 \(\lambda_1 = r_0 = 1.5\)。
-
第 1 次迭代：\(\lambda_1 = 1.5\)。
- 子问题边费用：\(\tilde{c}_{e1}=1-1.5=-0.5, \tilde{c}_{e2}=2-1.5=0.5, \tilde{c}_{e3}=5-1.5=3.5\)。
- 求解最小费用流：由于 e1 费用为负，应尽可能多用 e1，但受容量限制（u=4）和流量平衡约束。尝试分配：从 s 出发，走 e1 流量 4（满容量），其中 3 必须流向 t，但 e2 容量仅 3，所以 e1 只能送 3 到 a，然后 e2 送 3 到 t；剩余的 e1 流量 1 会形成循环？实际上，在需求固定为 3 的情况下，最小化 \(\sum (c_e-\lambda) f_e\) 时，因为 e1 费用负，我们会尽可能多用 e1，但多余流量必须形成循环（例如从 a 经虚拟回边？但图是定向的，无反向边）。所以必须满足流量平衡：对 a 点，进入流量 f_{e1}，流出流量 f_{e2}，要求 f_{e1} = f_{e2}。因此 f_{e1} 不能超过 e2 容量 3。所以最优流：f_{e1}=3, f_{e2}=3, f_{e3}=0。总费用 p=9，总流量 q=6。
- 当前比值 r_1 = 9/6 = 1.5。
- 检查 p - λ_1 q = 9 - 1.5×6 = 0。
- 因此 λ_1 = λ^* = 1.5，算法终止。
最优解即为：流全部走路径 s→a→t，总费用 9，总流量 6，单位流量平均成本 1.5。
第六步：算法收敛性与复杂度
- Dinkelbach 算法具有超线性收敛速度，通常经过少数几次迭代即可达到高精度。
- 每次迭代需要求解一个最小费用流问题，该问题可以在多项式时间内求解（例如，使用容量缩放算法，复杂度约为 \(O(|V|^2 |E| \log(|V| C))\)，其中 C 是最大费用参数）。
- 因此，整体算法是高效的，尤其适用于网络规模大但需要优化比值目标的场景。
关键点总结
- 分数规划模型：将最小化平均成本表达为线性比值的优化问题。
- Dinkelbach 转化：通过引入参数 λ，将原问题转化为一系列线性目标的最小费用流子问题。
- 子问题求解：每个子问题是普通的最小费用流，可用标准网络流算法快速求解。
- 迭代更新：通过更新 λ 为当前解的比值，逐步逼近最优比值，并在 \(F(λ)=0\) 时停止。
这个例子展示了如何将线性规划与分数规划结合，利用 Dinkelbach 算法高效解决带有比值目标的最小费用流问题，适用于通信网络、物流运输中需要优化“成本效益比”的场景。