区间动态规划例题：带权重的区间调度问题（允许区间重叠的加权版本）

字数 5876 2025-12-24 19:02:37

区间动态规划例题：带权重的区间调度问题（允许区间重叠的加权版本）

题目描述

给定一系列任务，每个任务表示为区间 [start_i, end_i)，以及该任务对应的权重（或价值）weight_i。你需要从中选择一个任务子集，允许任务区间重叠，但选择的子集必须满足一个约束条件：任何两个被选中的任务之间，其区间不能有超过 k 个重叠（这里我们定义“重叠”为两个任务区间有交集）。更形式化地，对于被选中的任意两个任务 i 和 j，如果 start_i < end_j 且 start_j < end_i，则认为它们重叠。
目标：最大化所选任务的总权重之和。

举例：
假设有任务区间：
任务1: [1, 4), weight=5
任务2: [2, 5), weight=6
任务3: [3, 6), weight=4
任务4: [7, 10), weight=8
约束 k=2（即最多允许任意两个任务之间有重叠，但如果有三个任务两两重叠，则不允许）。
一种可能的选择是 {任务1, 任务2, 任务4}，总权重=5+6+8=19（因为任务1和任务2重叠，但任务4不与其他重叠，满足 k=2，任意两个任务之间的重叠数不超过2）。但如果选择 {任务1, 任务2, 任务3}，则这三个任务两两重叠，违反了 k=2（因为存在三个任务互相重叠，即重叠数超过2）。

解题思路

这是一个区间动态规划问题，我们需要考虑任务的选择顺序和重叠限制。
关键点：

将任务按照结束时间 end 排序，这样可以方便地判断任务之间的先后关系。
定义状态 dp[i] 表示考虑前 i 个任务（按结束时间排序后），并且必须选择第 i 个任务时，能达到的最大权重和。
状态转移时，我们需要找到前一个可以选择的最近任务 j，使得任务 j 与任务 i 不冲突（即 end_j <= start_i），但由于允许重叠，我们还需要考虑重叠限制。
- 重叠限制意味着我们不能选择与当前任务 i 重叠的任务数量超过 k。但直接处理“任意两个任务之间的重叠”比较复杂，我们可以换一种思路：
  实际上，题目等价于：在任意时刻，被选中的任务中互相重叠的任务个数不能超过 k。
  但更简单的转化是：我们可以将问题视为选择若干互不相交的任务组，每组内的任务两两重叠，且每组的大小不超过 k。
  但这样转化后仍然难以直接DP。
- 另一种更直接的DP方法：定义状态 dp[i][c] 表示考虑前 i 个任务，且以第 i 个任务作为一组重叠任务的最后一个，这一组重叠任务的数量为 c（1 ≤ c ≤ k）时的最大权重和。
  转移时，我们考虑前一个任务 j：
  - 如果任务 j 与任务 i 不重叠（即 end_j <= start_i），那么任务 i 可以新开一组，即 c=1，从 dp[j][*] 转移过来。
  - 如果任务 j 与任务 i 重叠（即 end_j > start_i），那么任务 i 可以加入任务 j 所在的重叠组，但要求重叠组的大小不超过 k，即从 dp[j][c-1] 转移过来（c ≥ 2）。
  但这样的状态定义会导致复杂度较高（O(n² * k)），且需要考虑重叠组的连续性。
- 更简洁的解法（本题的标准解法）：
  我们先预处理出每个任务 i 的“前一个不重叠任务”的索引 prev[i]，即最大的 j 满足 end_j <= start_i（二分查找即可）。
  然后，我们定义 dp[i] 表示考虑前 i 个任务（排序后）时，能获得的最大权重和，此时不要求必须选择第 i 个任务。
  转移有两种选择：
  (1) 不选任务 i：dp[i] = dp[i-1]
  (2) 选任务 i：那么我们需要确保选择任务 i 后，与它重叠的任务数不超过 k。
  如何判断？我们可以枚举一个位置 p，使得从 p 到 i 的所有任务都与任务 i 重叠（即 start_p < end_i），并且选择任务 i 时，这些重叠的任务中最多只能选 k 个（包括 i 本身）。
  但这样枚举太耗时。
  
  实际上，我们可以将问题转化为：
  选择若干个任务，使得在任意时刻，被选中的任务中，结束时间晚于当前时刻、开始时间早于当前时刻的任务数不超过 k。
  这个条件等价于：在时间轴上滑动，同时维护一个“选中任务集合”，这个集合在任意时刻的大小不超过 k。
  
  但区间DP通常按区间端点进行划分。更巧妙的解法是：
  将任务按结束时间排序后，用 dp[i][j] 表示考虑前 i 个任务，且选中了 j 个任务时的最大权重和，其中 j ≤ k？不对，因为 k 是重叠限制，不是选中任务数的限制。
  
  经过思考，我发现这个问题实际上是一个经典的带权区间调度问题，但允许有限重叠（k-overlap）。
  标准解法是：
  1. 将任务按结束时间排序。
  2. 定义 dp[i] 为前 i 个任务的最大权重和。
  3. 对于每个任务 i，我们考虑两种情况：
    - 不选 i：dp[i] = dp[i-1]
    - 选 i：那么我们需要找到前一个与 i 不冲突的任务集合。但由于允许重叠，我们可以选择 i，并且同时选择所有与 i 重叠的任务，只要这些重叠的任务不超过 k 个。
      但这样会变成组合问题。
  实际上，这个问题有一个更简单的定义：
  选择一组任务，使得没有超过 k 个任务在任意时间点同时重叠。
  这等价于：将时间轴上的每个点，被覆盖的次数不超过 k。
  
  对于此类问题，常用的方法是转化为最大权 k-区间包问题。
  一个高效的DP解法：
  1. 将所有区间按右端点排序。
  2. 定义 dp[i][j] 表示考虑前 i 个区间，且选择了 j 个区间时的最大权重和（j ≤ 总任务数）。
  3. 转移：
    - 不选第 i 个区间：dp[i][j] = dp[i-1][j]
    - 选第 i 个区间：那么我们需要找到最后一个与第 i 个区间不重叠的区间 p（即 end_p ≤ start_i）。
      如果选择第 i 个区间，那么我们可以从 dp[p][j-1] 转移过来，但前提是我们必须保证加入第 i 个区间后，不会造成在某些时间点上重叠的区间数超过 k。
      如何保证？实际上，如果我们按结束时间排序后选择区间，并且保证选择的区间集合中，任意两个重叠的区间之间满足某种性质，就可以用“最大独立集”的扩展来解。
  鉴于这个问题的复杂性，我决定采用一种更直观且易于实现的DP思路：
  将任务按开始时间排序，然后定义状态 dp[i] 表示以第 i 个任务为最后一个被选中的任务时的最大权重和。
  转移时，我们枚举前一个被选中的任务 j，要求任务 j 与任务 i 不重叠（即 end_j ≤ start_i），并且从 j 到 i 之间被跳过的任务中，与 i 重叠的任务数不超过 k-1（因为加上 i 本身，重叠数不超过 k）。
  但这样仍然需要判断重叠数。
  
  最终，我采用以下方法（标准解法）：
  1. 将任务按结束时间排序。
  2. 对于每个任务 i，预处理出 prev[i] 表示最大的 j 满足 end_j ≤ start_i（即不重叠的前一个任务）。
  3. 定义 dp[i][t] 表示考虑前 i 个任务，且在最后一个被选中的任务结束之后，又额外选择了 t 个与当前任务重叠的任务（t ≤ k-1）时的最大权重和。
    这个状态定义比较巧妙，它记录了重叠任务的数量。
    转移时：
    - 不选任务 i：dp[i][t] = dp[i-1][t]
    - 选任务 i：那么我们需要找到前一个不重叠的任务 p = prev[i]，然后从 dp[p][*] 转移过来，同时，如果 t > 0，则说明有重叠任务被选择。
  然而，这种状态定义仍较复杂。
  
  为了清晰起见，我决定采用一种简化但能说明区间DP思想的版本：
  假设 k=1，即不允许任何重叠。这就是经典的加权区间调度问题。
  状态定义：dp[i] 表示考虑前 i 个任务（按结束时间排序）时的最大权重和。
  转移：
  dp[i] = max(dp[i-1], dp[prev[i]] + weight_i)
  其中 prev[i] 是最大的 j 满足 end_j ≤ start_i。
  
  对于 k>1 的情况，我们可以扩展状态：
  dp[i][c] 表示考虑前 i 个任务，且以第 i 个任务作为一组重叠任务的最后一个，这组重叠任务包含 c 个任务（1 ≤ c ≤ k）时的最大权重和。
  转移：
  dp[i][c] = max_{j < i} { if (end_j ≤ start_i) then dp[j][*] + weight_i # 新开一组，c=1 else if (c > 1) then dp[j][c-1] + weight_i # 加入重叠组 }
  同时，我们还需要一个全局最优解数组 best[i] 表示前 i 个任务的最大权重和（不一定以 i 结尾）。
  
  实现时，我们按结束时间排序后，对于每个 i，枚举所有 j < i，根据是否重叠决定转移。时间复杂度 O(n² * k)。

逐步讲解

我们以 k=2 为例，任务区间如下（已按结束时间排序）：
任务1: [1, 4), w=5
任务2: [2, 5), w=6
任务3: [3, 6), w=4
任务4: [7, 10), w=8

步骤1：预处理
对于每个任务 i，计算 prev[i] 表示最后一个不与 i 重叠的任务索引（即最大的 j 满足 end_j ≤ start_i）。

任务1: start=1, prev[1]=0（虚拟任务0，表示空）
任务2: start=2, 检查任务1的end=4，4>2，所以重叠，prev[2]=0
任务3: start=3, 检查任务2的end=5>3，任务1的end=4>3，所以重叠，prev[3]=0
任务4: start=7, 检查任务3的end=6≤7，所以prev[4]=3

步骤2：状态定义
dp[i][c]：考虑前 i 个任务，且以任务 i 作为一组重叠任务的最后一个，这组重叠任务包含 c 个任务（1≤c≤k）时的最大权重和。
best[i]：考虑前 i 个任务时的全局最大权重和（不一定以 i 结尾）。

初始化：dp[*][*] = -∞，best[0]=0。

步骤3：状态转移
按 i=1 到 n 顺序计算：

i=1（任务1）：
- c=1：新开一组，可以从虚拟任务0转移：dp[1][1] = weight1 = 5
- c=2：不可能，因为c=2需要前一个任务与它重叠，但前面没有任务。
- best[1] = max(best[0], dp[1][1]) = max(0,5)=5
i=2（任务2）：
- c=1：新开一组，可以从 best[prev[2]] 转移，prev[2]=0，所以 dp[2][1] = best[0] + weight2 = 0+6=6
  也可以从任务1转移，但任务1与任务2重叠（end1=4 > start2=2），所以不能作为不重叠的前驱。
- c=2：加入重叠组，需要前一个任务与它重叠（即任务1），且该组已有c-1=1个任务。
  所以从 dp[1][1] 转移：dp[2][2] = dp[1][1] + weight2 = 5+6=11
- best[2] = max(best[1], dp[2][1], dp[2][2]) = max(5,6,11)=11
i=3（任务3）：
- c=1：新开一组，从 best[prev[3]] 转移，prev[3]=0，所以 dp[3][1] = best[0] + weight3 = 0+4=4
- c=2：加入重叠组，需要前一个重叠任务（任务1或任务2）。
  从任务1：dp[1][1] + weight3 = 5+4=9
  从任务2：dp[2][1] + weight3 = 6+4=10
  取最大值：dp[3][2] = 10
- c=3？但k=2，所以c不能超过2。
- best[3] = max(best[2], dp[3][1], dp[3][2]) = max(11,4,10)=11
i=4（任务4）：
- c=1：新开一组，从 best[prev[4]] 转移，prev[4]=3，所以 dp[4][1] = best[3] + weight4 = 11+8=19
- c=2：加入重叠组，但任务4与任务3不重叠（end3=6 ≤ start4=7），所以不能从任务3转移。实际上，任务4与前面所有任务都不重叠，所以c=2不可能。
- best[4] = max(best[3], dp[4][1]) = max(11,19)=19

最终答案：best[4]=19。

验证：选择任务1、2、4，权重和=5+6+8=19，且任务1和任务2重叠（重叠任务数为2，满足k=2），任务4不与其他重叠，符合条件。

复杂度分析

预处理 prev：排序 O(n log n)，二分查找每个任务的 prev 需 O(log n)，总 O(n log n)。
DP状态数：O(n * k)。
转移：对于每个 dp[i][c]，c=1时从 best[prev[i]] 转移（O(1)），c>1时需要枚举所有与 i 重叠的前驱任务 j（最坏 O(n)），因此总复杂度 O(n² * k)。
可以通过进一步优化（如对于每个 i，只考虑与它重叠的前驱）来减少枚举，但最坏仍为 O(n² * k)。

总结

这个题目是带权区间调度问题的扩展，允许有限重叠（k-overlap）。核心思路是按结束时间排序，定义状态 dp[i][c] 表示以任务 i 为结尾且所在重叠组大小为 c 时的最大权重，同时维护全局最优 best[i]。转移时分别考虑新开一组（c=1）和加入前驱的重叠组（c>1）两种情况。最终答案为 best[n]。

通过这个例子，你可以看到区间DP如何通过增加状态维度（重叠组大小 c）来应对更复杂的约束条件（有限重叠）。

区间动态规划例题：带权重的区间调度问题（允许区间重叠的加权版本）题目描述给定一系列任务，每个任务表示为区间 [start_i, end_i) ，以及该任务对应的权重（或价值） weight_i 。你需要从中选择一个任务子集，允许任务区间重叠，但选择的子集必须满足一个约束条件：任何两个被选中的任务之间，其区间不能有超过 k 个重叠（这里我们定义“重叠”为两个任务区间有交集）。更形式化地，对于被选中的任意两个任务 i 和 j ，如果 start_i < end_j 且 start_j < end_i ，则认为它们重叠。目标：最大化所选任务的总权重之和。举例：假设有任务区间：任务1: [ 1, 4), weight=5 任务2: [ 2, 5), weight=6 任务3: [ 3, 6), weight=4 任务4: [ 7, 10), weight=8 约束 k=2 （即最多允许任意两个任务之间有重叠，但如果有三个任务两两重叠，则不允许）。一种可能的选择是 {任务1, 任务2, 任务4}，总权重=5+6+8=19（因为任务1和任务2重叠，但任务4不与其他重叠，满足 k=2 ，任意两个任务之间的重叠数不超过2）。但如果选择 {任务1, 任务2, 任务3}，则这三个任务两两重叠，违反了 k=2 （因为存在三个任务互相重叠，即重叠数超过2）。解题思路这是一个区间动态规划问题，我们需要考虑任务的选择顺序和重叠限制。关键点：将任务按照结束时间 end 排序，这样可以方便地判断任务之间的先后关系。定义状态 dp[i] 表示考虑前 i 个任务（按结束时间排序后），并且必须选择第 i 个任务时，能达到的最大权重和。状态转移时，我们需要找到前一个可以选择的最近任务 j ，使得任务 j 与任务 i 不冲突（即 end_j <= start_i ），但由于允许重叠，我们还需要考虑重叠限制。重叠限制意味着我们不能选择与当前任务 i 重叠的任务数量超过 k 。但直接处理“任意两个任务之间的重叠”比较复杂，我们可以换一种思路：实际上，题目等价于：在任意时刻，被选中的任务中互相重叠的任务个数不能超过 k 。但更简单的转化是：我们可以将问题视为选择若干互不相交的任务组，每组内的任务两两重叠，且每组的大小不超过 k 。但这样转化后仍然难以直接DP。另一种更直接的DP方法：定义状态 dp[i][c] 表示考虑前 i 个任务，且以第 i 个任务作为一组重叠任务的最后一个，这一组重叠任务的数量为 c （1 ≤ c ≤ k）时的最大权重和。转移时，我们考虑前一个任务 j ：如果任务 j 与任务 i 不重叠（即 end_j <= start_i ），那么任务 i 可以新开一组，即 c=1 ，从 dp[j][*] 转移过来。如果任务 j 与任务 i 重叠（即 end_j > start_i ），那么任务 i 可以加入任务 j 所在的重叠组，但要求重叠组的大小不超过 k ，即从 dp[j][c-1] 转移过来（c ≥ 2）。但这样的状态定义会导致复杂度较高（O(n² * k)），且需要考虑重叠组的连续性。更简洁的解法（本题的标准解法）：我们先预处理出每个任务 i 的“前一个不重叠任务”的索引 prev[i] ，即最大的 j 满足 end_j <= start_i （二分查找即可）。然后，我们定义 dp[i] 表示考虑前 i 个任务（排序后）时，能获得的最大权重和，此时不要求必须选择第 i 个任务。转移有两种选择： (1) 不选任务 i： dp[i] = dp[i-1] (2) 选任务 i：那么我们需要确保选择任务 i 后，与它重叠的任务数不超过 k。如何判断？我们可以枚举一个位置 p ，使得从 p 到 i 的所有任务都与任务 i 重叠（即 start_p < end_i ），并且选择任务 i 时，这些重叠的任务中最多只能选 k 个（包括 i 本身）。但这样枚举太耗时。实际上，我们可以将问题转化为：选择若干个任务，使得在任意时刻，被选中的任务中，结束时间晚于当前时刻、开始时间早于当前时刻的任务数不超过 k 。这个条件等价于：在时间轴上滑动，同时维护一个“选中任务集合”，这个集合在任意时刻的大小不超过 k。但区间DP通常按区间端点进行划分。更巧妙的解法是：将任务按结束时间排序后，用 dp[i][j] 表示考虑前 i 个任务，且选中了 j 个任务时的最大权重和，其中 j ≤ k？不对，因为 k 是重叠限制，不是选中任务数的限制。经过思考，我发现这个问题实际上是一个经典的带权区间调度问题，但允许有限重叠（k-overlap）。标准解法是：将任务按结束时间排序。定义 dp[i] 为前 i 个任务的最大权重和。对于每个任务 i，我们考虑两种情况：不选 i： dp[i] = dp[i-1] 选 i：那么我们需要找到前一个与 i 不冲突的任务集合。但由于允许重叠，我们可以选择 i，并且同时选择所有与 i 重叠的任务，只要这些重叠的任务不超过 k 个。但这样会变成组合问题。实际上，这个问题有一个更简单的定义：选择一组任务，使得没有超过 k 个任务在任意时间点同时重叠。这等价于：将时间轴上的每个点，被覆盖的次数不超过 k。对于此类问题，常用的方法是转化为最大权 k-区间包问题。一个高效的DP解法：将所有区间按右端点排序。定义 dp[i][j] 表示考虑前 i 个区间，且选择了 j 个区间时的最大权重和（j ≤ 总任务数）。转移：不选第 i 个区间： dp[i][j] = dp[i-1][j] 选第 i 个区间：那么我们需要找到最后一个与第 i 个区间不重叠的区间 p（即 end_p ≤ start_i ）。如果选择第 i 个区间，那么我们可以从 dp[p][j-1] 转移过来，但前提是我们必须保证加入第 i 个区间后，不会造成在某些时间点上重叠的区间数超过 k。如何保证？实际上，如果我们按结束时间排序后选择区间，并且保证选择的区间集合中，任意两个重叠的区间之间满足某种性质，就可以用“最大独立集”的扩展来解。鉴于这个问题的复杂性，我决定采用一种更直观且易于实现的DP思路：将任务按开始时间排序，然后定义状态 dp[i] 表示以第 i 个任务为最后一个被选中的任务时的最大权重和。转移时，我们枚举前一个被选中的任务 j，要求任务 j 与任务 i 不重叠（即 end_j ≤ start_i ），并且从 j 到 i 之间被跳过的任务中，与 i 重叠的任务数不超过 k-1 （因为加上 i 本身，重叠数不超过 k）。但这样仍然需要判断重叠数。最终，我采用以下方法（标准解法）：将任务按结束时间排序。对于每个任务 i，预处理出 prev[i] 表示最大的 j 满足 end_j ≤ start_i （即不重叠的前一个任务）。定义 dp[i][t] 表示考虑前 i 个任务，且在最后一个被选中的任务结束之后，又额外选择了 t 个与当前任务重叠的任务（t ≤ k-1）时的最大权重和。这个状态定义比较巧妙，它记录了重叠任务的数量。转移时：不选任务 i： dp[i][t] = dp[i-1][t] 选任务 i：那么我们需要找到前一个不重叠的任务 p = prev[i] ，然后从 dp[p][*] 转移过来，同时，如果 t > 0，则说明有重叠任务被选择。然而，这种状态定义仍较复杂。为了清晰起见，我决定采用一种简化但能说明区间DP思想的版本：假设 k=1 ，即不允许任何重叠。这就是经典的加权区间调度问题。状态定义： dp[i] 表示考虑前 i 个任务（按结束时间排序）时的最大权重和。转移： dp[i] = max(dp[i-1], dp[prev[i]] + weight_i) 其中 prev[i] 是最大的 j 满足 end_j ≤ start_i 。对于 k>1 的情况，我们可以扩展状态： dp[i][c] 表示考虑前 i 个任务，且以第 i 个任务作为一组重叠任务的最后一个，这组重叠任务包含 c 个任务（1 ≤ c ≤ k）时的最大权重和。转移： dp[i][c] = max_{j < i} { if (end_j ≤ start_i) then dp[j][*] + weight_i # 新开一组，c=1 else if (c > 1) then dp[j][c-1] + weight_i # 加入重叠组 } 同时，我们还需要一个全局最优解数组 best[i] 表示前 i 个任务的最大权重和（不一定以 i 结尾）。实现时，我们按结束时间排序后，对于每个 i，枚举所有 j < i，根据是否重叠决定转移。时间复杂度 O(n² * k)。逐步讲解我们以 k=2 为例，任务区间如下（已按结束时间排序）：任务1: [ 1, 4), w=5 任务2: [ 2, 5), w=6 任务3: [ 3, 6), w=4 任务4: [ 7, 10), w=8 步骤1：预处理对于每个任务 i，计算 prev[i] 表示最后一个不与 i 重叠的任务索引（即最大的 j 满足 end_j ≤ start_i ）。任务1: start=1, prev[ 1 ]=0（虚拟任务0，表示空）任务2: start=2, 检查任务1的end=4，4>2，所以重叠，prev[ 2 ]=0 任务3: start=3, 检查任务2的end=5>3，任务1的end=4>3，所以重叠，prev[ 3 ]=0 任务4: start=7, 检查任务3的end=6≤7，所以prev[ 4 ]=3 步骤2：状态定义 dp[i][c] ：考虑前 i 个任务，且以任务 i 作为一组重叠任务的最后一个，这组重叠任务包含 c 个任务（1≤c≤k）时的最大权重和。 best[i] ：考虑前 i 个任务时的全局最大权重和（不一定以 i 结尾）。初始化： dp[*][*] = -∞ ， best[0]=0 。步骤3：状态转移按 i=1 到 n 顺序计算： i=1（任务1）： c=1：新开一组，可以从虚拟任务0转移： dp[1][1] = weight1 = 5 c=2：不可能，因为c=2需要前一个任务与它重叠，但前面没有任务。 best[1] = max(best[0], dp[1][1]) = max(0,5)=5 i=2（任务2）： c=1：新开一组，可以从 best[prev[2]] 转移，prev[ 2]=0，所以 dp[2][1] = best[0] + weight2 = 0+6=6 也可以从任务1转移，但任务1与任务2重叠（end1=4 > start2=2），所以不能作为不重叠的前驱。 c=2：加入重叠组，需要前一个任务与它重叠（即任务1），且该组已有c-1=1个任务。所以从 dp[1][1] 转移： dp[2][2] = dp[1][1] + weight2 = 5+6=11 best[2] = max(best[1], dp[2][1], dp[2][2]) = max(5,6,11)=11 i=3（任务3）： c=1：新开一组，从 best[prev[3]] 转移，prev[ 3]=0，所以 dp[3][1] = best[0] + weight3 = 0+4=4 c=2：加入重叠组，需要前一个重叠任务（任务1或任务2）。从任务1： dp[1][1] + weight3 = 5+4=9 从任务2： dp[2][1] + weight3 = 6+4=10 取最大值： dp[3][2] = 10 c=3？但k=2，所以c不能超过2。 best[3] = max(best[2], dp[3][1], dp[3][2]) = max(11,4,10)=11 i=4（任务4）： c=1：新开一组，从 best[prev[4]] 转移，prev[ 4]=3，所以 dp[4][1] = best[3] + weight4 = 11+8=19 c=2：加入重叠组，但任务4与任务3不重叠（end3=6 ≤ start4=7），所以不能从任务3转移。实际上，任务4与前面所有任务都不重叠，所以c=2不可能。 best[4] = max(best[3], dp[4][1]) = max(11,19)=19 最终答案： best[4]=19 。验证：选择任务1、2、4，权重和=5+6+8=19，且任务1和任务2重叠（重叠任务数为2，满足k=2），任务4不与其他重叠，符合条件。复杂度分析预处理 prev ：排序 O(n log n)，二分查找每个任务的 prev 需 O(log n)，总 O(n log n)。 DP状态数：O(n * k)。转移：对于每个 dp[i][c] ，c=1时从 best[prev[i]] 转移（O(1)），c>1时需要枚举所有与 i 重叠的前驱任务 j（最坏 O(n)），因此总复杂度 O(n² * k)。可以通过进一步优化（如对于每个 i，只考虑与它重叠的前驱）来减少枚举，但最坏仍为 O(n² * k)。总结这个题目是带权区间调度问题的扩展，允许有限重叠（k-overlap）。核心思路是按结束时间排序，定义状态 dp[i][c] 表示以任务 i 为结尾且所在重叠组大小为 c 时的最大权重，同时维护全局最优 best[i] 。转移时分别考虑新开一组（c=1）和加入前驱的重叠组（c>1）两种情况。最终答案为 best[n] 。通过这个例子，你可以看到区间DP如何通过增加状态维度（重叠组大小 c）来应对更复杂的约束条件（有限重叠）。