深度学习中的自适应优化算法之AdaFactor算法原理与参数缩放机制
字数 3296 2025-12-24 18:12:13

深度学习中的自适应优化算法之AdaFactor算法原理与参数缩放机制

题目描述

AdaFactor是一种自适应优化算法，专门设计用于降低内存占用，尤其适合训练大规模语言模型（如Transformer-based模型）。它基于Adam算法的自适应动量估计思想，但通过因子分解（factorization）技术减少存储二阶矩（second moment）估计所需的内存。AdaFactor的核心目标是在保持模型训练效果的同时，显著降低优化器内存开销，从而支持更大规模的模型训练。本题目将详细解释AdaFactor的原理、因子分解机制、自适应参数缩放、以及其相对于Adam的改进之处。

解题过程

1. 背景与问题动机

在深度学习优化中，Adam及其变体广泛使用。Adam为每个参数维护两个状态：一阶矩（动量）和二阶矩（自适应学习率项）。对于包含数十亿参数的大模型，二阶矩估计（每个参数一个标量）会占用巨大内存。例如，10亿参数的模型，Adam二阶矩存储需约4GB内存（float32精度）。

AdaFactor的关键创新：将二阶矩估计矩阵分解为两个低秩矩阵的乘积，大幅减少内存使用，同时保留自适应学习率特性。

2. AdaFactor 算法核心思想

原始Adam的更新规则回顾：

  • 一阶矩：\(m_t = \beta_1 m_{t-1} + (1 - \beta_1) g_t\)
  • 二阶矩：\(v_t = \beta_2 v_{t-1} + (1 - \beta_2) g_t^2\)
  • 更新：\(\theta_t = \theta_{t-1} - \alpha \cdot \frac{\hat{m}_t}{\sqrt{\hat{v}_t} + \epsilon}\)

AdaFactor的改进思路：

  • 将二阶矩估计 \(v_t\) 分解为两个低秩向量（或矩阵）的乘积，避免存储完整矩阵。
  • 引入参数缩放（parameter scaling），替代权重衰减（weight decay）。

3. 二阶矩的因子分解

假设模型参数 \(\theta \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 是一个矩阵（例如，Transformer中的权重矩阵）。在Adam中，二阶矩 \(v \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 存储每个参数的平方梯度。

AdaFactor将 \(v_t\) 分解为：

\[v_t = R_t \cdot C_t^\top \]

其中：

  • \(R_t \in \mathbb{R}^{m \times k}\)
  • \(C_t \in \mathbb{R}^{n \times k}\)
  • \(k \ll \min(m, n)\) 是低秩维度（通常设为1）。

物理意义：

  • \(R_t\) 表示行方向的梯度统计。
  • \(C_t\) 表示列方向的梯度统计。
  • 通过外积近似恢复完整二阶矩：\(v_t \approx R_t C_t^\top\)。

内存节省：原始需存储 \(m \times n\) 个元素，现只需存储 \((m + n) \times k\) 个元素。当 \(k=1\) 时，内存减少为原来的 \(\frac{m+n}{m \times n} \approx \frac{1}{\min(m, n)}\)。

4. 因子分解的更新规则

AdaFactor维护两个低秩矩阵 \(R_t\) 和 \(C_t\)，分别用指数移动平均更新：

  • 计算当前梯度矩阵 \(g_t \in \mathbb{R}^{m \times n}\)。
  • 更新行统计：\(R_t = \beta_2 R_{t-1} + (1 - \beta_2) \sum_{j} (g_t^2)_{ij} / n\) （对每行求平均）
  • 更新列统计：\(C_t = \beta_2 C_{t-1} + (1 - \beta_2) \sum_{i} (g_t^2)_{ij} / m\) （对每列求平均）

近似二阶矩：

\[\hat{v}_t = R_t \cdot C_t^\top / \left( \frac{1}{mn} \sum_{i,j} (g_t^2)_{ij} \right) \]

这里的分母是为了数值稳定性，确保估计尺度合理。

5. 参数缩放与学习率调整

AdaFactor用参数缩放替代权重衰减。更新公式为：

\[\theta_t = \theta_{t-1} - \alpha_t \cdot g_t / \sqrt{\hat{v}_t + \epsilon} \]

其中：

  • \(\alpha_t\) 是学习率，可包含预热（warmup）和衰减（decay）。
  • 参数缩放通过自适应学习率隐式控制参数范数，避免显式权重衰减项。

相对更新量裁剪：为防止更新步长过大，AdaFactor会限制更新量的相对幅度：

\[\Delta_t = \text{clip}\left( \frac{g_t}{\sqrt{\hat{v}_t}}, \text{threshold} \right) \]

阈值通常设为1.0。

6. 算法步骤总结

  1. 初始化：

    • 初始化参数 \(\theta_0\)。
    • 初始化行统计 \(R_0\) 和列统计 \(C_0\) 为零矩阵。
    • 设置超参数： \(\beta_1, \beta_2\)（动量衰减率）、\(k\)（低秩维度）、学习率 \(\alpha_t\)、阈值 \(\text{clip\_threshold}\)。

  2. 迭代更新（对每个训练步 \(t\)）：

    • 计算梯度 \(g_t\)。
    • 更新一阶矩（可选）：\(m_t = \beta_1 m_{t-1} + (1 - \beta_1) g_t\)。
    • 更新行统计 \(R_t\) 和列统计 \(C_t\) 如上所述。
    • 计算近似二阶矩 \(\hat{v}_t = R_t C_t^\top / \text{mean}(g_t^2)\)。
    • 计算自适应步长：\(\Delta_t = g_t / \sqrt{\hat{v}_t + \epsilon}\)。
    • 裁剪更新：\(\Delta_t = \text{clip}( \Delta_t, \text{threshold} )\)。
    • 参数更新：\(\theta_t = \theta_{t-1} - \alpha_t \cdot \Delta_t\)。

7. 与Adam的对比优势

  • 内存效率：二阶矩存储从 \(O(mn)\) 降至 \(O(m + n)\)，适合大参数矩阵。
  • 数值稳定性：因子分解减少极端值对二阶矩估计的影响。
  • 训练效果：在语言模型任务中，AdaFactor常达到与Adam相当或更好的效果，尤其在超大模型上。

8. 实际应用与注意事项

  • 适用场景：主要针对矩阵参数（如全连接层、注意力层的权重），对向量参数（如偏置）可退化为普通二阶矩。
  • 超参数设置：通常 \(\beta_2\) 较高（如0.999），\(k=1\) 已足够。学习率调度需配合预热。
  • 实现细节：需处理低秩矩阵的初始化、数值下溢问题（添加小常数 \(\epsilon\)）。

小结

AdaFactor通过因子分解二阶矩估计，大幅降低优化器内存占用，同时保持自适应学习率的优点。其参数缩放机制避免了显式权重衰减，简化了超参数调节。在训练Transformer等大型模型时，AdaFactor成为内存敏感场景下的重要优化器选择，体现了深度学习优化在效率与效果之间的平衡设计。

深度学习中的自适应优化算法之AdaFactor算法原理与参数缩放机制 题目描述 AdaFactor是一种自适应优化算法，专门设计用于 降低内存占用 ，尤其适合训练 大规模语言模型 （如Transformer-based模型）。它基于Adam算法的自适应动量估计思想，但通过 因子分解 （factorization）技术减少存储二阶矩（second moment）估计所需的内存。AdaFactor的核心目标是在保持模型训练效果的同时，显著降低优化器内存开销，从而支持更大规模的模型训练。本题目将详细解释AdaFactor的原理、因子分解机制、自适应参数缩放、以及其相对于Adam的改进之处。 解题过程 1. 背景与问题动机 在深度学习优化中，Adam及其变体广泛使用。Adam为每个参数维护两个状态：一阶矩（动量）和二阶矩（自适应学习率项）。对于包含数十亿参数的大模型，二阶矩估计（每个参数一个标量）会占用巨大内存。例如，10亿参数的模型，Adam二阶矩存储需约4GB内存（float32精度）。 AdaFactor的关键创新 ：将二阶矩估计矩阵分解为两个低秩矩阵的乘积，大幅减少内存使用，同时保留自适应学习率特性。 2. AdaFactor 算法核心思想 原始Adam的更新规则回顾 ： 一阶矩：\( m_ t = \beta_ 1 m_ {t-1} + (1 - \beta_ 1) g_ t \) 二阶矩：\( v_ t = \beta_ 2 v_ {t-1} + (1 - \beta_ 2) g_ t^2 \) 更新：\( \theta_ t = \theta_ {t-1} - \alpha \cdot \frac{\hat{m}_ t}{\sqrt{\hat{v}_ t} + \epsilon} \) AdaFactor的改进思路 ： 将二阶矩估计 \( v_ t \) 分解为两个低秩向量（或矩阵）的乘积，避免存储完整矩阵。 引入参数缩放（parameter scaling），替代权重衰减（weight decay）。 3. 二阶矩的因子分解 假设模型参数 \( \theta \in \mathbb{R}^{m \times n} \) 是一个矩阵（例如，Transformer中的权重矩阵）。在Adam中，二阶矩 \( v \in \mathbb{R}^{m \times n} \) 存储每个参数的平方梯度。 AdaFactor将 \( v_ t \) 分解为： \[ v_ t = R_ t \cdot C_ t^\top \] 其中： \( R_ t \in \mathbb{R}^{m \times k} \) \( C_ t \in \mathbb{R}^{n \times k} \) \( k \ll \min(m, n) \) 是低秩维度（通常设为1）。 物理意义 ： \( R_ t \) 表示 行方向 的梯度统计。 \( C_ t \) 表示 列方向 的梯度统计。 通过外积近似恢复完整二阶矩：\( v_ t \approx R_ t C_ t^\top \)。 内存节省 ：原始需存储 \( m \times n \) 个元素，现只需存储 \( (m + n) \times k \) 个元素。当 \( k=1 \) 时，内存减少为原来的 \( \frac{m+n}{m \times n} \approx \frac{1}{\min(m, n)} \)。 4. 因子分解的更新规则 AdaFactor维护两个低秩矩阵 \( R_ t \) 和 \( C_ t \)，分别用指数移动平均更新： 计算当前梯度矩阵 \( g_ t \in \mathbb{R}^{m \times n} \)。 更新行统计：\( R_ t = \beta_ 2 R_ {t-1} + (1 - \beta_ 2) \sum_ {j} (g_ t^2)_ {ij} / n \) （对每行求平均） 更新列统计：\( C_ t = \beta_ 2 C_ {t-1} + (1 - \beta_ 2) \sum_ {i} (g_ t^2)_ {ij} / m \) （对每列求平均） 近似二阶矩 ： \[ \hat{v} t = R_ t \cdot C_ t^\top / \left( \frac{1}{mn} \sum {i,j} (g_ t^2)_ {ij} \right) \] 这里的分母是为了数值稳定性，确保估计尺度合理。 5. 参数缩放与学习率调整 AdaFactor用 参数缩放 替代权重衰减。更新公式为： \[ \theta_ t = \theta_ {t-1} - \alpha_ t \cdot g_ t / \sqrt{\hat{v}_ t + \epsilon} \] 其中： \( \alpha_ t \) 是学习率，可包含预热（warmup）和衰减（decay）。 参数缩放通过自适应学习率隐式控制参数范数，避免显式权重衰减项。 相对更新量裁剪 ：为防止更新步长过大，AdaFactor会限制更新量的相对幅度： \[ \Delta_ t = \text{clip}\left( \frac{g_ t}{\sqrt{\hat{v}_ t}}, \text{threshold} \right) \] 阈值通常设为1.0。 6. 算法步骤总结 初始化 ： 初始化参数 \( \theta_ 0 \)。 初始化行统计 \( R_ 0 \) 和列统计 \( C_ 0 \) 为零矩阵。 设置超参数： \( \beta_ 1, \beta_ 2 \)（动量衰减率）、\( k \)（低秩维度）、学习率 \( \alpha_ t \)、阈值 \( \text{clip\_threshold} \)。 迭代更新 （对每个训练步 \( t \)）： 计算梯度 \( g_ t \)。 更新一阶矩（可选）：\( m_ t = \beta_ 1 m_ {t-1} + (1 - \beta_ 1) g_ t \)。 更新行统计 \( R_ t \) 和列统计 \( C_ t \) 如上所述。 计算近似二阶矩 \( \hat{v}_ t = R_ t C_ t^\top / \text{mean}(g_ t^2) \)。 计算自适应步长：\( \Delta_ t = g_ t / \sqrt{\hat{v}_ t + \epsilon} \)。 裁剪更新：\( \Delta_ t = \text{clip}( \Delta_ t, \text{threshold} ) \)。 参数更新：\( \theta_ t = \theta_ {t-1} - \alpha_ t \cdot \Delta_ t \)。 7. 与Adam的对比优势 内存效率 ：二阶矩存储从 \( O(mn) \) 降至 \( O(m + n) \)，适合大参数矩阵。 数值稳定性 ：因子分解减少极端值对二阶矩估计的影响。 训练效果 ：在语言模型任务中，AdaFactor常达到与Adam相当或更好的效果，尤其在超大模型上。 8. 实际应用与注意事项 适用场景 ：主要针对矩阵参数（如全连接层、注意力层的权重），对向量参数（如偏置）可退化为普通二阶矩。 超参数设置 ：通常 \( \beta_ 2 \) 较高（如0.999），\( k=1 \) 已足够。学习率调度需配合预热。 实现细节 ：需处理低秩矩阵的初始化、数值下溢问题（添加小常数 \( \epsilon \)）。 小结 AdaFactor通过 因子分解二阶矩估计 ，大幅降低优化器内存占用，同时保持自适应学习率的优点。其 参数缩放机制 避免了显式权重衰减，简化了超参数调节。在训练Transformer等大型模型时，AdaFactor成为内存敏感场景下的重要优化器选择，体现了深度学习优化在效率与效果之间的平衡设计。