SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的 $\iota$ (Iota) 步骤详解

字数 3484 2025-12-24 16:26:13

SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的 $\iota$ (Iota) 步骤详解

1. 题目描述

我们将深入讲解 SHA-3 哈希算法（及其底层结构 Keccak）中核心的轮函数 Keccak-f[b] 的五个步骤之一：$\iota$ 步骤。在 Keccak-f[b] 轮函数中，状态数组需要经过 R 轮迭代（对于 SHA3-256，b=1600 位，R=24轮），每一轮由五个步骤按顺序构成：$\theta$ (Theta), $\rho$ (Rho), $\pi$ (Pi), $\chi$ (Chi), $\iota$ (Iota)。$\iota$ 是最后一小步，其作用是将一个与轮次相关的、非常稀疏的、预先计算好的常量（称为“轮常数”， round constant）加到状态数组的特定位置（一个特定的“车道”， lane）。这一步的目的是破坏结构的对称性，确保每一轮变换都是唯一的，从而增强算法的抗碰撞和抗密码分析能力。我们的目标是理解 $\iota$ 步骤的具体操作、其设计动机、常量的生成规则及其在整体算法中的作用。

2. 解题过程：循序渐进的理解

第一步：回忆 Keccak 的状态表示

Keccak 的内部状态 $b$ 表示为一个三维比特数组 $a[x][y][z]$，但我们更常用一个 5x5 的二维“车道”（lane）视角来理解 $\iota$ 步骤。状态 $S$ 可以看作是 5x5 个“车道”的集合，每个“车道”是一个长度为 $w$ 比特的字，其中 $b = 25 * w$。例如，在 SHA3-256 中，$b=1600, w=64$，所以状态是 5x5 个 64 比特的字。

坐标：$x$ 和 $y$ 的取值范围是 0 到 4，定位一个车道（$lane[x][y]$）。
注意：在一些描述中，状态也被表示为 $A[x, y]$ 或 $S[x][y]$，代表一个 $w$ 比特的车道。

第二步：$\iota$ 步骤的数学描述

$\iota$ 步骤的数学定义非常简单，只修改一个特定车道的一个比特。其操作如下：

\[A[0, 0] \leftarrow A[0, 0] \oplus RC[i_r] \]

其中：

$A[0, 0]$ 是状态数组在坐标 $(x=0, y=0)$ 处的车道（一个 $w$ 比特的字）。
$i_r$ 是当前的轮次索引，从 0 开始计数（对于 SHA3-256，$i_r \in {0, 1, …, 23}$）。
$RC[i_r]$ 是与轮次 $i_r$ 对应的、长度为 $w$ 比特的轮常数。注意，$RC[i_r]$ 中，只有很少的比特位（通常只有 6 或 7 个位）被设为 1，其他位都是 0。它不是一个完整的、复杂的 $w$ 比特常量，而是一个极其稀疏的常量。
$\oplus$ 表示按位异或（XOR）操作。

关键点：

$\iota$ 步骤只修改一个车道：$A[0, 0]$。
修改方式是与一个轮常数进行按位异或。
这是整个轮函数中唯一与轮次相关的操作，$\theta$, $\rho$, $\pi$, $\chi$ 都是与轮次无关的、固定的置换或线性/非线性操作。这使得 $\iota$ 步骤成为破坏迭代对称性的关键。

第三步：轮常数 $RC[i_r]$ 的生成

轮常数 $RC$ 的设计目标是在保证足够“随机”和不可预测的同时，又非常简洁、易于硬件实现。它不是从大的查找表中读取，而是通过一个简单的线性反馈移位寄存器（LFSR）逻辑在算法内部即时生成的。

轮常数 $RC$ 是一个与状态宽度 $w$ 相关的 $w$ 比特值。但其非零比特只出现在最低的 $l$ 位，其中 $l = \log_2(w)$。对于 $b=1600, w=64$，则 $l=6$。所以 $RC[i_r]$ 的非零比特只会出现在其最低 6 个比特位中。对于小于 64 比特的 $w$，常数会被截断到相应的 $w$ 比特。

生成算法：

设 $RC[j]$ 表示轮常数的第 $j$ 个比特（$j$ 从 0 开始）。
对于每一轮 $i_r$，我们生成一个新的 $w$ 比特的 $RC$ 值，但只计算其最低的 $l$ 位（因为高位总是 0）。
设 $rc(t)$ 是一个生成 8 位值的简单函数，其中 $t$ 是一个整数，用于计算每一轮的轮常数。
- 对于每一轮 $i_r$，我们计算 $t = i_r$，但生成规则基于一个 8 位的 LFSR。
具体的计算规则如下（Keccak 规范）：
a. 初始化一个 8 位寄存器 $rc = 0x01$（即二进制 00000001）。
b. 对于 $j$ 从 0 到 $l-1$（即 $j$ 从 0 到 5 对于 $w=64$）：
如果 $rc$ 的第 0 位（最低有效位）是 1，则 $RC[j] = 1$，否则 $RC[j] = 0$。
c. 更新 $rc$ 寄存器：将 $rc$ 左移 1 位，如果移出的最高位是 1，则与 0x71 进行异或。这是一种在 GF(2^8) 上基于本原多项式 $x^8 + x^6 + x^5 + x^4 + 1$ 的线性反馈。
d. 重复 b 和 c 步骤 $i_r$ 轮（即，对于第 0 轮，我们直接取初始 $rc$ 生成的 6 个比特；对于第 1 轮，我们更新 $rc$ 一次，再用新 $rc$ 生成 6 个比特，以此类推）。

简化理解：我们可以将每一轮 $i_r$ 对应的 $RC[i_r]$ 看作是一个预先计算好的 64 比特常量，但其值非常小。例如，前几轮的 $RC$ 值（以十六进制表示，最低 6 位有效）：

轮 0: RC = 0x0000000000000001
轮 1: RC = 0x0000000000008082
轮 2: RC = 0x800000000000808A
...
注意，这些常量是公开的，可以在标准中找到（NIST FIPS 202）。在实际实现中，为了效率，通常会直接查表使用这 24 个常量，而不是每次计算 LFSR。

第四步：$\iota$ 步骤的作用与安全目的

破坏对称性：Keccak 的 $\theta$, $\rho$, $\pi$, $\chi$ 步骤都是对称的、与轮次无关的。如果没有 $\iota$ 步骤，那么无论进行多少轮，每一轮的变换都是一模一样的。这种对称性可能导致弱密钥或固定点攻击。通过每一轮异或一个不同的常数 $RC[i_r]$ 到 $A[0,0]$ 车道，我们确保了每一轮的变换都是独特的，从而打破了这种对称性。
提供非线性：虽然异或本身是线性操作，但由于 $RC$ 是常数，它与状态异或可以看作是向系统注入了一个“扰动”。这个扰动经过后续的 $\chi$（非线性）和 $\theta$（线性扩散）等步骤，会扩散到整个状态，增加了状态演变的复杂性和不可预测性。
简化设计：$\iota$ 步骤的设计非常经济和优雅。它只修改一个车道的一个比特位（实际上常数中只有几个位是1，所以只修改这几个位），计算开销极小，但对安全性的贡献巨大。它避免了使用复杂的轮密钥调度算法（如 AES），使得 Keccak 结构非常简洁，易于分析和硬件实现。

第五步：整体流程中的位置

回顾一下 Keccak-f[b] 一轮的完整顺序：

$\theta$ (Theta): 基于列奇偶性进行扩散。
$\rho$ (Rho): 对每个车道进行循环移位。
$\pi$ (Pi): 重新排列车道的位置（一个固定置换）。
$\chi$ (Chi): 非线性变换，基于相邻比特。
$\iota$ (Iota): 与轮常数异或。

$\iota$ 步骤是每一轮的最后一步。完成 $\iota$ 后，该轮结束，状态进入下一轮（重复上述 5 步）或作为最终的挤压输出。

总结：
$\iota$ 步骤是 Keccak 轮函数中一个简单但至关重要的步骤。它通过将每一轮唯一的、稀疏的轮常数 $RC[i_r]$ 与状态的一个特定车道 $A[0,0]$ 进行异或，破坏轮函数的对称性，为算法提供了必要的非线性扰动和轮间差异性。其常数生成基于一个简单的 LFSR，易于实现。虽然操作本身很简单，但它是确保 SHA-3 哈希函数安全性的关键设计之一，防止了因结构对称性可能导致的密码学弱点。

SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的 $\iota$ (Iota) 步骤详解 1. 题目描述我们将深入讲解 SHA-3 哈希算法（及其底层结构 Keccak）中核心的轮函数 Keccak-f[ b] 的五个步骤之一：$\iota$ 步骤。在 Keccak-f[ b ] 轮函数中，状态数组需要经过 R 轮迭代（对于 SHA3-256，b=1600 位，R=24轮），每一轮由五个步骤按顺序构成：$\theta$ (Theta), $\rho$ (Rho), $\pi$ (Pi), $\chi$ (Chi), $\iota$ (Iota)。$\iota$ 是最后一小步，其作用是将一个与轮次相关的、非常稀疏的、预先计算好的常量（称为“轮常数”， round constant）加到状态数组的特定位置（一个特定的“车道”， lane）。这一步的目的是破坏结构的对称性，确保每一轮变换都是唯一的，从而增强算法的抗碰撞和抗密码分析能力。我们的目标是理解 $\iota$ 步骤的具体操作、其设计动机、常量的生成规则及其在整体算法中的作用。 2. 解题过程：循序渐进的理解第一步：回忆 Keccak 的状态表示 Keccak 的内部状态 $b$ 表示为一个三维比特数组 $a[ x][ y][ z]$，但我们更常用一个 5x5 的二维“车道”（lane）视角来理解 $\iota$ 步骤。状态 $S$ 可以看作是 5x5 个“车道”的集合，每个“车道”是一个长度为 $w$ 比特的字，其中 $b = 25 * w$。例如，在 SHA3-256 中，$b=1600, w=64$，所以状态是 5x5 个 64 比特的字。坐标：$x$ 和 $y$ 的取值范围是 0 到 4，定位一个车道（$lane[ x][ y ]$）。注意：在一些描述中，状态也被表示为 $A[ x, y]$ 或 $S[ x][ y ]$，代表一个 $w$ 比特的车道。第二步：$\iota$ 步骤的数学描述 $\iota$ 步骤的数学定义非常简单，只修改一个特定车道的一个比特。其操作如下： \[ A[ 0, 0] \leftarrow A[ 0, 0] \oplus RC[ i_ r ] \] 其中： $A[ 0, 0 ]$ 是状态数组在坐标 $(x=0, y=0)$ 处的车道（一个 $w$ 比特的字）。 $i_ r$ 是当前的轮次索引，从 0 开始计数（对于 SHA3-256，$i_ r \in {0, 1, …, 23}$）。 $RC[ i_ r]$ 是与轮次 $i_ r$ 对应的、长度为 $w$ 比特的轮常数。注意，$RC[ i_ r ]$ 中，只有很少的比特位（通常只有 6 或 7 个位）被设为 1，其他位都是 0。它不是一个完整的、复杂的 $w$ 比特常量，而是一个极其稀疏的常量。 $\oplus$ 表示按位异或（XOR）操作。关键点： $\iota$ 步骤只修改一个车道：$A[ 0, 0 ]$。修改方式是与一个轮常数进行按位异或。这是整个轮函数中唯一与轮次相关的操作，$\theta$, $\rho$, $\pi$, $\chi$ 都是与轮次无关的、固定的置换或线性/非线性操作。这使得 $\iota$ 步骤成为破坏迭代对称性的关键。第三步：轮常数 $RC[ i_ r]$ 的生成轮常数 $RC$ 的设计目标是在保证足够“随机”和不可预测的同时，又非常简洁、易于硬件实现。它不是从大的查找表中读取，而是通过一个简单的线性反馈移位寄存器（LFSR）逻辑在算法内部即时生成的。轮常数 $RC$ 是一个与状态宽度 $w$ 相关的 $w$ 比特值。但其非零比特只出现在最低的 $l$ 位，其中 $l = \log_ 2(w)$。对于 $b=1600, w=64$，则 $l=6$。所以 $RC[ i_ r ]$ 的非零比特只会出现在其最低 6 个比特位中。对于小于 64 比特的 $w$，常数会被截断到相应的 $w$ 比特。生成算法：设 $RC[ j ]$ 表示轮常数的第 $j$ 个比特（$j$ 从 0 开始）。对于每一轮 $i_ r$，我们生成一个新的 $w$ 比特的 $RC$ 值，但只计算其最低的 $l$ 位（因为高位总是 0）。设 $rc(t)$ 是一个生成 8 位值的简单函数，其中 $t$ 是一个整数，用于计算每一轮的轮常数。对于每一轮 $i_ r$，我们计算 $t = i_ r$，但生成规则基于一个 8 位的 LFSR。具体的计算规则如下（Keccak 规范）： a. 初始化一个 8 位寄存器 $rc = 0x01$（即二进制 00000001 ）。 b. 对于 $j$ 从 0 到 $l-1$（即 $j$ 从 0 到 5 对于 $w=64$）：如果 $rc$ 的第 0 位（最低有效位）是 1，则 $RC[ j] = 1$，否则 $RC[ j ] = 0$。 c. 更新 $rc$ 寄存器：将 $rc$ 左移 1 位，如果移出的最高位是 1，则与 0x71 进行异或。这是一种在 GF(2^8) 上基于本原多项式 $x^8 + x^6 + x^5 + x^4 + 1$ 的线性反馈。 d. 重复 b 和 c 步骤 $i_ r$ 轮（即，对于第 0 轮，我们直接取初始 $rc$ 生成的 6 个比特；对于第 1 轮，我们更新 $rc$ 一次，再用新 $rc$ 生成 6 个比特，以此类推）。简化理解：我们可以将每一轮 $i_ r$ 对应的 $RC[ i_ r ]$ 看作是一个预先计算好的 64 比特常量，但其值非常小。例如，前几轮的 $RC$ 值（以十六进制表示，最低 6 位有效）：轮 0: RC = 0x0000000000000001 轮 1: RC = 0x0000000000008082 轮 2: RC = 0x800000000000808A ... 注意，这些常量是公开的，可以在标准中找到（NIST FIPS 202）。在实际实现中，为了效率，通常会直接查表使用这 24 个常量，而不是每次计算 LFSR。第四步：$\iota$ 步骤的作用与安全目的破坏对称性：Keccak 的 $\theta$, $\rho$, $\pi$, $\chi$ 步骤都是对称的、与轮次无关的。如果没有 $\iota$ 步骤，那么无论进行多少轮，每一轮的变换都是一模一样的。这种对称性可能导致弱密钥或固定点攻击。通过每一轮异或一个不同的常数 $RC[ i_ r]$ 到 $A[ 0,0 ]$ 车道，我们确保了每一轮的变换都是独特的，从而打破了这种对称性。提供非线性：虽然异或本身是线性操作，但由于 $RC$ 是常数，它与状态异或可以看作是向系统注入了一个“扰动”。这个扰动经过后续的 $\chi$（非线性）和 $\theta$（线性扩散）等步骤，会扩散到整个状态，增加了状态演变的复杂性和不可预测性。简化设计：$\iota$ 步骤的设计非常经济和优雅。它只修改一个车道的一个比特位（实际上常数中只有几个位是1，所以只修改这几个位），计算开销极小，但对安全性的贡献巨大。它避免了使用复杂的轮密钥调度算法（如 AES），使得 Keccak 结构非常简洁，易于分析和硬件实现。第五步：整体流程中的位置回顾一下 Keccak-f[ b ] 一轮的完整顺序： $\theta$ (Theta): 基于列奇偶性进行扩散。 $\rho$ (Rho): 对每个车道进行循环移位。 $\pi$ (Pi): 重新排列车道的位置（一个固定置换）。 $\chi$ (Chi): 非线性变换，基于相邻比特。 $\iota$ (Iota): 与轮常数异或。 $\iota$ 步骤是每一轮的最后一步。完成 $\iota$ 后，该轮结束，状态进入下一轮（重复上述 5 步）或作为最终的挤压输出。总结： $\iota$ 步骤是 Keccak 轮函数中一个简单但至关重要的步骤。它通过将每一轮唯一的、稀疏的轮常数 $RC[ i_ r]$ 与状态的一个特定车道 $A[ 0,0 ]$ 进行异或，破坏轮函数的对称性，为算法提供了必要的非线性扰动和轮间差异性。其常数生成基于一个简单的 LFSR，易于实现。虽然操作本身很简单，但它是确保 SHA-3 哈希函数安全性的关键设计之一，防止了因结构对称性可能导致的密码学弱点。