区间动态规划例题：布尔括号化问题
字数 2544 2025-10-26 19:15:23

区间动态规划例题：布尔括号化问题

题目描述
给定一个布尔表达式，由符号 T（真）、F（假）以及运算符 &（与）、|（或）、^（异或）组成。表达式以字符串形式给出，例如 "T|F&T^F"。要求计算该表达式有多少种括号化方式，使得最终结果为 True（真）。括号化是指在运算符两侧添加括号，改变运算顺序。例如，对 "T|F&T"，可以括号化为 "(T|F)&T" 或 "T|(F&T)"，两种顺序可能产生不同的布尔值。你需要统计所有能得到 True 的括号化方案数量。

解题思路

  1. 问题分析：表达式由布尔值和运算符交替组成。括号化本质是确定运算顺序，每种顺序对应一个表达式求值结果。我们需要统计结果为 True 的顺序数量。
  2. 区间动态规划定义：设 dp[i][j][0] 表示子表达式 s[i:j+1]（包含端点）所有括号化方式中得到 False 的数量，dp[i][j][1] 表示得到 True 的数量。目标是求 dp[0][n-1][1]，其中 n 为字符串长度。
  3. 区间划分：对于区间 [i, j]，枚举区间内的每个运算符位置 k（k 从 i+1 开始，每隔2移动，因为运算符间隔出现），将区间分为左部分 [i, k-1] 和右部分 [k+1, j]，运算符为 s[k]。根据运算符的布尔运算规则，组合左右部分的结果数量。
  4. 合并方式：
    • 运算符 &：结果为 True 当且仅当左右均为 True：
      true_count = left_true * right_true
    • 运算符 |：结果为 True 当左右至少一个为 True：
      true_count = left_true * right_total + left_total * right_true - left_true * right_true
      （其中 left_total = left_true + left_false，右同）
    • 运算符 ^：结果为 True 当左右布尔值不同：
      true_count = left_true * right_false + left_false * right_true
      结果为 False 的数量可通过 false_count = left_total * right_total - true_count 计算。
  5. 初始化：单字符区间（即 i == j）时，若 s[i] == 'T'，则 dp[i][i][1] = 1，dp[i][i][0] = 0；若 s[i] == 'F'，则 dp[i][i][1] = 0，dp[i][i][0] = 1。
  6. 计算顺序：按区间长度 len 从小（1）到大（n）遍历，每次处理固定长度的所有区间。

详细步骤

  1. 解析字符串，记录长度 n。
  2. 初始化三维数组 dp[n][n][2]，全部置0。
  3. 处理长度为1的区间（基础情况）：
    • 对于每个 i（0 <= i < n，且 i 为偶数，因为布尔值在偶数索引）：
      • 若 s[i] == 'T'：dp[i][i][1] = 1
      • 若 s[i] == 'F'：dp[i][i][0] = 1
  4. 遍历区间长度 len = 3, 5, 7, ..., n（因为表达式长度必为奇数）：
    • 遍历区间起点 i，使得 i + len - 1 < n：
      • 设区间终点 j = i + len - 1。
      • 遍历区间内的运算符位置 k（k 从 i+1 到 j-1，步长为2）：
        • 左子区间 [i, k-1]，右子区间 [k+1, j]。
        • 根据 s[k] 的运算符类型，计算左右子区间组合后的 true_count 和 false_count：
          • 若 s[k] == '&'：
            true_count = dp[i][k-1][1] * dp[k+1][j][1]
            false_count = (dp[i][k-1][0] + dp[i][k-1][1]) * (dp[k+1][j][0] + dp[k+1][j][1]) - true_count
          • 若 s[k] == '|'：
            left_total = dp[i][k-1][0] + dp[i][k-1][1]
            right_total = dp[k+1][j][0] + dp[k+1][j][1]
            true_count = dp[i][k-1][1] * right_total + left_total * dp[k+1][j][1] - dp[i][k-1][1] * dp[k+1][j][1]
            false_count = left_total * right_total - true_count
          • 若 s[k] == '^'：
            true_count = dp[i][k-1][1] * dp[k+1][j][0] + dp[i][k-1][0] * dp[k+1][j][1]
            false_count = (dp[i][k-1][0] + dp[i][k-1][1]) * (dp[k+1][j][0] + dp[k+1][j][1]) - true_count
        • 将 true_count 和 false_count 累加到 dp[i][j][1] 和 dp[i][j][0]。
  5. 最终结果为 dp[0][n-1][1]。

示例验证
以表达式 "T|F" 为例（n=3）：

  • 初始化：dp[0][0][1]=1（T），dp[2][2][0]=1（F）。
  • 区间 [0,2]，运算符 k=1 为 |：
    • left_total = 1，right_total = 1
    • true_count = 1*1 + 1*1 - 1*1 = 1
    • dp[0][2][1] = 1
      结果有1种方式得到 True，符合预期（T|F 为真）。
区间动态规划例题：布尔括号化问题 题目描述 给定一个布尔表达式，由符号 T （真）、 F （假）以及运算符 & （与）、 | （或）、 ^ （异或）组成。表达式以字符串形式给出，例如 "T|F&T^F" 。要求计算该表达式有多少种括号化方式，使得最终结果为 True （真）。括号化是指在运算符两侧添加括号，改变运算顺序。例如，对 "T|F&T" ，可以括号化为 "(T|F)&T" 或 "T|(F&T)" ，两种顺序可能产生不同的布尔值。你需要统计所有能得到 True 的括号化方案数量。 解题思路 问题分析 ：表达式由布尔值和运算符交替组成。括号化本质是确定运算顺序，每种顺序对应一个表达式求值结果。我们需要统计结果为 True 的顺序数量。 区间动态规划定义 ：设 dp[i][j][0] 表示子表达式 s[i:j+1] （包含端点）所有括号化方式中得到 False 的数量， dp[i][j][1] 表示得到 True 的数量。目标是求 dp[0][n-1][1] ，其中 n 为字符串长度。 区间划分 ：对于区间 [i, j] ，枚举区间内的每个运算符位置 k （ k 从 i+1 开始，每隔2移动，因为运算符间隔出现），将区间分为左部分 [i, k-1] 和右部分 [k+1, j] ，运算符为 s[k] 。根据运算符的布尔运算规则，组合左右部分的结果数量。 合并方式 ： 运算符 & ：结果为 True 当且仅当左右均为 True ： true_count = left_true * right_true 运算符 | ：结果为 True 当左右至少一个为 True ： true_count = left_true * right_total + left_total * right_true - left_true * right_true （其中 left_total = left_true + left_false ，右同） 运算符 ^ ：结果为 True 当左右布尔值不同： true_count = left_true * right_false + left_false * right_true 结果为 False 的数量可通过 false_count = left_total * right_total - true_count 计算。 初始化 ：单字符区间（即 i == j ）时，若 s[i] == 'T' ，则 dp[i][i][1] = 1 ， dp[i][i][0] = 0 ；若 s[i] == 'F' ，则 dp[i][i][1] = 0 ， dp[i][i][0] = 1 。 计算顺序 ：按区间长度 len 从小（1）到大（n）遍历，每次处理固定长度的所有区间。 详细步骤 解析字符串，记录长度 n 。 初始化三维数组 dp[n][n][2] ，全部置0。 处理长度为1的区间（基础情况）： 对于每个 i （ 0 <= i < n ，且 i 为偶数，因为布尔值在偶数索引）： 若 s[i] == 'T' ： dp[i][i][1] = 1 若 s[i] == 'F' ： dp[i][i][0] = 1 遍历区间长度 len = 3, 5, 7, ..., n （因为表达式长度必为奇数）： 遍历区间起点 i ，使得 i + len - 1 < n ： 设区间终点 j = i + len - 1 。 遍历区间内的运算符位置 k （ k 从 i+1 到 j-1 ，步长为2）： 左子区间 [i, k-1] ，右子区间 [k+1, j] 。 根据 s[k] 的运算符类型，计算左右子区间组合后的 true_count 和 false_count ： 若 s[k] == '&' ： true_count = dp[i][k-1][1] * dp[k+1][j][1] false_count = (dp[i][k-1][0] + dp[i][k-1][1]) * (dp[k+1][j][0] + dp[k+1][j][1]) - true_count 若 s[k] == '|' ： left_total = dp[i][k-1][0] + dp[i][k-1][1] right_total = dp[k+1][j][0] + dp[k+1][j][1] true_count = dp[i][k-1][1] * right_total + left_total * dp[k+1][j][1] - dp[i][k-1][1] * dp[k+1][j][1] false_count = left_total * right_total - true_count 若 s[k] == '^' ： true_count = dp[i][k-1][1] * dp[k+1][j][0] + dp[i][k-1][0] * dp[k+1][j][1] false_count = (dp[i][k-1][0] + dp[i][k-1][1]) * (dp[k+1][j][0] + dp[k+1][j][1]) - true_count 将 true_count 和 false_count 累加到 dp[i][j][1] 和 dp[i][j][0] 。 最终结果为 dp[0][n-1][1] 。 示例验证 以表达式 "T|F" 为例（ n=3 ）： 初始化： dp[0][0][1]=1 （ T ）， dp[2][2][0]=1 （ F ）。 区间 [0,2] ，运算符 k=1 为 | ： left_total = 1 ， right_total = 1 true_count = 1*1 + 1*1 - 1*1 = 1 dp[0][2][1] = 1 结果有1种方式得到 True ，符合预期（ T|F 为真）。