非线性规划中的广义简约梯度法（Generalized Reduced Gradient Method, GRG）进阶题：处理非线性等式与不等式约束的工程优化问题
字数 2813 2025-12-24 15:24:06

非线性规划中的广义简约梯度法（Generalized Reduced Gradient Method, GRG）进阶题：处理非线性等式与不等式约束的工程优化问题

题目描述
考虑如下形式的约束非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n} &\quad f(\mathbf{x}) \\ \text{s.t.} &\quad h_i(\mathbf{x}) = 0, \quad i = 1, \dots, m \\ &\quad g_j(\mathbf{x}) \le 0, \quad j = 1, \dots, p \\ &\quad \mathbf{x}^L \le \mathbf{x} \le \mathbf{x}^U \end{aligned} \]

其中，\(f, h_i, g_j: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是连续可微函数，且 \(m < n\)。假设等式约束是独立的（即其雅可比矩阵行满秩），且存在可行解。目标是使用广义简约梯度法（GRG）求解此问题，并处理非线性等式与不等式约束，特别关注在工程优化中常见的非凸、非线性约束情形。

解题过程循序渐进讲解

GRG 是处理含有非线性等式约束的优化问题的经典方法。其核心思想是将变量分为“基变量”和“非基变量”，利用等式约束消去基变量，将原问题转化为一个仅含边界约束的简约空间中的优化问题。下面是详细步骤：

第一步：问题转换与积极约束处理

  1. 引入松弛变量将不等式约束化为等式：对每个 \(g_j(\mathbf{x}) \le 0\)，添加松弛变量 \(s_j \ge 0\)，得到 \(g_j(\mathbf{x}) + s_j = 0\)。此时决策变量扩展为 \(\mathbf{y} = (\mathbf{x}, \mathbf{s})\)，维度为 \(n + p\)。
  2. 在每一步迭代中，识别积极的不等式约束（包括边界约束）。对于当前点 \(\mathbf{y}_k\)，若某个不等式约束（包括边界）是积极的（即严格等式成立），则将其视为等式约束；否则视为非积极。将所有积极的等式约束（包括原始的等式约束和从不等式转换来的积极约束）组成向量 \(\mathbf{h}(\mathbf{y}) = \mathbf{0}\)，设其个数为 \(m'\)（\(m' \le m + p\)）。
  3. 在积极约束集下，问题转化为仅含等式约束的问题：

\[ \min_{\mathbf{y}} f(\mathbf{y}) \quad \text{s.t.} \quad \mathbf{h}(\mathbf{y}) = 0, \quad \mathbf{y}^L \le \mathbf{y} \le \mathbf{y}^U. \]

第二步：变量划分与简约梯度计算

  1. 将变量 \(\mathbf{y}\) 划分为基变量 \(\mathbf{y}_B \in \mathbb{R}^{m'}\) 和非基变量 \(\mathbf{y}_N \in \mathbb{R}^{n + p - m'}\)。划分原则是：选择基变量使得雅可比矩阵 \(\nabla_{\mathbf{y}_B} \mathbf{h}\) 非奇异（通常通过高斯消元或QR分解选择线性独立的列）。
  2. 利用隐函数定理，在局部可将等式约束 \(\mathbf{h}(\mathbf{y}_B, \mathbf{y}_N) = 0\) 解出 \(\mathbf{y}_B = \mathbf{y}_B(\mathbf{y}_N)\)。
  3. 计算简约梯度（Reduced Gradient）\(\mathbf{r}\)，即目标函数在简约空间（以 \(\mathbf{y}_N\) 为自变量）的梯度：

\[ \mathbf{r} = \nabla_{\mathbf{y}_N} f - (\nabla_{\mathbf{y}_B} \mathbf{h})^{-T} (\nabla_{\mathbf{y}_B} f)^T. \]

实际计算中，通过求解线性方程组得到乘子向量 \(\boldsymbol{\lambda} = -(\nabla_{\mathbf{y}_B} \mathbf{h})^{-T} \nabla_{\mathbf{y}_B} f\)，然后计算 \(\mathbf{r} = \nabla_{\mathbf{y}_N} f + (\nabla_{\mathbf{y}_N} \mathbf{h})^T \boldsymbol{\lambda}\)。

第三步：简约空间中的线搜索与步长选择

  1. 在简约空间中，沿负简约梯度方向（或结合共轭梯度等技巧）确定搜索方向 \(\mathbf{d}_N = -\mathbf{D} \mathbf{r}\)，其中 \(\mathbf{D}\) 通常取单位阵（最速下降）或拟牛顿近似Hessian逆。
  2. 沿 \(\mathbf{d}_N\) 进行线搜索时，需保持可行性：
    • 更新非基变量：\(\mathbf{y}_N(\alpha) = \mathbf{y}_N + \alpha \mathbf{d}_N\)，但需截断在边界内。
    • 通过求解非线性方程组 \(\mathbf{h}(\mathbf{y}_B, \mathbf{y}_N(\alpha)) = 0\) 更新基变量，通常用牛顿法迭代求解。
  3. 线搜索条件：采用Armijo或Wolfe条件确保目标函数下降，并保证新点满足边界约束。

第四步：积极约束集的更新与收敛判断

  1. 每步迭代后，检查不等式约束的积极状态变化：若某个松弛变量接近零（或变量到达边界），则可能进入积极集；若拉格朗日乘子为负（对不等式），则可能离开积极集。
  2. 收敛准则：简约梯度的范数小于容差 \(\epsilon\)，且满足KKT条件（包括互补松弛条件）。
  3. 若积极集变化，则重新划分基变量/非基变量，并继续迭代。

第五步：工程优化中的特殊处理

  1. 非凸约束处理：GRG 通常找到局部最优解。对于非凸问题，可采用多起点策略，从不同初始点运行GRG，选取最佳解。
  2. 数值稳定性：当 \(\nabla_{\mathbf{y}_B} \mathbf{h}\) 接近奇异时，需采用正则化或重新选择基变量。
  3. 高效实现：可利用稀疏雅可比矩阵结构加速线性代数运算，这对大规模工程问题很重要。

总结
GRG 通过变量划分将约束问题转化为低维无约束问题迭代求解，能有效处理非线性等式和不等式约束。在工程优化中，结合积极集策略和稳健的线搜索，GRG 是求解中等规模、光滑非线性规划问题的可靠方法。

非线性规划中的广义简约梯度法（Generalized Reduced Gradient Method, GRG）进阶题：处理非线性等式与不等式约束的工程优化问题 题目描述 考虑如下形式的约束非线性规划问题： \[\begin{aligned} \min_ {\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n} &\quad f(\mathbf{x}) \\ \text{s.t.} &\quad h_ i(\mathbf{x}) = 0, \quad i = 1, \dots, m \\ &\quad g_ j(\mathbf{x}) \le 0, \quad j = 1, \dots, p \\ &\quad \mathbf{x}^L \le \mathbf{x} \le \mathbf{x}^U \end{aligned}\] 其中，\(f, h_ i, g_ j: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是连续可微函数，且 \(m < n\)。假设等式约束是独立的（即其雅可比矩阵行满秩），且存在可行解。目标是使用广义简约梯度法（GRG）求解此问题，并处理非线性等式与不等式约束，特别关注在工程优化中常见的 非凸、非线性约束 情形。 解题过程循序渐进讲解 GRG 是处理含有非线性等式约束的优化问题的经典方法。其核心思想是将变量分为“基变量”和“非基变量”，利用等式约束消去基变量，将原问题转化为一个仅含边界约束的简约空间中的优化问题。下面是详细步骤： 第一步：问题转换与积极约束处理 引入松弛变量将不等式约束化为等式：对每个 \(g_ j(\mathbf{x}) \le 0\)，添加松弛变量 \(s_ j \ge 0\)，得到 \(g_ j(\mathbf{x}) + s_ j = 0\)。此时决策变量扩展为 \(\mathbf{y} = (\mathbf{x}, \mathbf{s})\)，维度为 \(n + p\)。 在每一步迭代中，识别积极的不等式约束（包括边界约束）。对于当前点 \(\mathbf{y}_ k\)，若某个不等式约束（包括边界）是积极的（即严格等式成立），则将其视为等式约束；否则视为非积极。将所有积极的等式约束（包括原始的等式约束和从不等式转换来的积极约束）组成向量 \(\mathbf{h}(\mathbf{y}) = \mathbf{0}\)，设其个数为 \(m'\)（\(m' \le m + p\)）。 在积极约束集下，问题转化为仅含等式约束的问题： \[ \min_ {\mathbf{y}} f(\mathbf{y}) \quad \text{s.t.} \quad \mathbf{h}(\mathbf{y}) = 0, \quad \mathbf{y}^L \le \mathbf{y} \le \mathbf{y}^U. \] 第二步：变量划分与简约梯度计算 将变量 \(\mathbf{y}\) 划分为 基变量 \(\mathbf{y}_ B \in \mathbb{R}^{m'}\) 和 非基变量 \(\mathbf{y} N \in \mathbb{R}^{n + p - m'}\)。划分原则是：选择基变量使得雅可比矩阵 \(\nabla {\mathbf{y}_ B} \mathbf{h}\) 非奇异（通常通过高斯消元或QR分解选择线性独立的列）。 利用隐函数定理，在局部可将等式约束 \(\mathbf{h}(\mathbf{y}_ B, \mathbf{y}_ N) = 0\) 解出 \(\mathbf{y}_ B = \mathbf{y}_ B(\mathbf{y}_ N)\)。 计算 简约梯度 （Reduced Gradient）\(\mathbf{r}\)，即目标函数在简约空间（以 \(\mathbf{y} N\) 为自变量）的梯度： \[ \mathbf{r} = \nabla {\mathbf{y} N} f - (\nabla {\mathbf{y} B} \mathbf{h})^{-T} (\nabla {\mathbf{y} B} f)^T. \] 实际计算中，通过求解线性方程组得到乘子向量 \(\boldsymbol{\lambda} = -(\nabla {\mathbf{y} B} \mathbf{h})^{-T} \nabla {\mathbf{y} B} f\)，然后计算 \(\mathbf{r} = \nabla {\mathbf{y} N} f + (\nabla {\mathbf{y}_ N} \mathbf{h})^T \boldsymbol{\lambda}\)。 第三步：简约空间中的线搜索与步长选择 在简约空间中，沿负简约梯度方向（或结合共轭梯度等技巧）确定搜索方向 \(\mathbf{d}_ N = -\mathbf{D} \mathbf{r}\)，其中 \(\mathbf{D}\) 通常取单位阵（最速下降）或拟牛顿近似Hessian逆。 沿 \(\mathbf{d}_ N\) 进行线搜索时，需保持可行性： 更新非基变量：\(\mathbf{y}_ N(\alpha) = \mathbf{y}_ N + \alpha \mathbf{d}_ N\)，但需截断在边界内。 通过求解非线性方程组 \(\mathbf{h}(\mathbf{y}_ B, \mathbf{y}_ N(\alpha)) = 0\) 更新基变量，通常用牛顿法迭代求解。 线搜索条件：采用Armijo或Wolfe条件确保目标函数下降，并保证新点满足边界约束。 第四步：积极约束集的更新与收敛判断 每步迭代后，检查不等式约束的积极状态变化：若某个松弛变量接近零（或变量到达边界），则可能进入积极集；若拉格朗日乘子为负（对不等式），则可能离开积极集。 收敛准则：简约梯度的范数小于容差 \(\epsilon\)，且满足KKT条件（包括互补松弛条件）。 若积极集变化，则重新划分基变量/非基变量，并继续迭代。 第五步：工程优化中的特殊处理 非凸约束处理 ：GRG 通常找到局部最优解。对于非凸问题，可采用多起点策略，从不同初始点运行GRG，选取最佳解。 数值稳定性 ：当 \(\nabla_ {\mathbf{y}_ B} \mathbf{h}\) 接近奇异时，需采用正则化或重新选择基变量。 高效实现 ：可利用稀疏雅可比矩阵结构加速线性代数运算，这对大规模工程问题很重要。 总结 GRG 通过变量划分将约束问题转化为低维无约束问题迭代求解，能有效处理非线性等式和不等式约束。在工程优化中，结合积极集策略和稳健的线搜索，GRG 是求解中等规模、光滑非线性规划问题的可靠方法。