排序算法之：最小比较数排序（Ford-Johnson Merge-Insertion Sort）的递推关系与比较次数下界分析
字数 2769 2025-12-24 15:01:24

排序算法之：最小比较数排序（Ford-Johnson Merge-Insertion Sort）的递推关系与比较次数下界分析

1. 问题描述

我们熟知比较排序算法的时间复杂度下界是 \(O(n \log n)\)，但针对具体的 \(n\)，是否存在一个确定性算法，使得对任意长度为 \(n\) 的数组排序所需的比较次数最少？
Ford-Johnson 算法（又称 Merge-Insertion Sort）是已知的、在实际 \(n\) 下能逼近理论最小比较次数的算法之一。
本题目要求：

  1. 解释 Ford-Johnson 算法的基本步骤。
  2. 推导其比较次数的递推关系。
  3. 分析该递推关系如何给出算法在最坏情况下的比较次数下界。

2. 算法基本思想

Ford-Johnson 算法结合了合并排序与二分插入排序的优点，分三个阶段：

阶段一：配对与比较

  • 将 \(n\) 个元素两两配对，得到 \(\lfloor n/2 \rfloor\) 对。
  • 对每对元素进行一次比较，将较小的放入集合 \(S\)，较大的放入集合 \(L\)（若 \(n\) 为奇数，多出的一个元素暂存）。

阶段二：递归排序较大者集合 \(L\)

  • 对集合 \(L\) 递归应用 Ford-Johnson 算法排序（因为 \(L\) 的大小约为 \(n/2\)）。
  • 排序后，\(L\) 中的元素按顺序记为 \(l_1 < l_2 < \dots < l_{\lfloor n/2 \rfloor}\)。

阶段三：二分插入较小者集合 \(S\)

  • 将 \(S\) 中的元素依次插入已排序的 \(L\) 序列中，但插入顺序经过精心设计：
    按照 \(S\) 中元素在原配对中对应的 \(l_i\) 的下标顺序插入，具体顺序由一组预定义的“插入点”决定（称为 Jacobsthal 数序列）。

3. 比较次数的递推关系

设 \(F(n)\) 表示 Ford-Johnson 算法对 \(n\) 个元素排序所需的最坏情况比较次数。

步骤分析：

  1. 阶段一：配对比较次数为 \(\lfloor n/2 \rfloor\)。
  2. 阶段二：递归排序 \(L\)，其大小为 \(\lceil n/2 \rceil\)，比较次数为 \(F(\lceil n/2 \rceil)\)。
  3. 阶段三：插入 \(S\) 中的元素。
    • 已排序的 \(L\) 序列长度为 \(m = \lceil n/2 \rceil\)。
    • \(S\) 的大小为 \(\lfloor n/2 \rfloor\)。
    • 关键：每个 \(s_i\) 插入时，已知其对应的 \(l_i\) 在 \(L\) 中的位置，因此只需在 \(l_i\) 之前的部分进行二分查找（因为 \(s_i < l_i\)），查找范围长度逐渐增加。
    • 通过 Jacobsthal 顺序安排插入，使得每次二分查找的成本最小化。

递推公式推导：
插入第 \(k\) 个 \(s\) 元素时，二分查找的比较次数约为 \(\lceil \log_2 (k+1) \rceil\)。
对 \(\lfloor n/2 \rfloor\) 个插入操作，总比较次数近似为：

\[\sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} \lceil \log_2 (k+1) \rceil \]

因此递推关系为：

\[F(n) = \lfloor n/2 \rfloor + F(\lceil n/2 \rceil) + \sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} \lceil \log_2 (k+1) \rceil \]

其中 \(F(0)=0, F(1)=0\)。

4. 递推关系的求解与下界分析

上述递推关系可以进一步简化。
记 \(n = 2^m\) 或近似分析，可得：

\[F(n) \approx \frac{n}{2} + F\left(\frac{n}{2}\right) + \sum_{k=1}^{n/2} \lceil \log_2 (k+1) \rceil \]

而 \(\sum_{k=1}^{n/2} \lceil \log_2 (k+1) \rceil \approx \frac{n}{2} \log_2 n - n + O(\log n)\)。

代入递推并展开：

\[F(n) \approx \frac{n}{2} + F\left(\frac{n}{2}\right) + \frac{n}{2} \log_2 n - n + O(\log n) \]

合并常数项后递归展开，可得：

\[F(n) \approx n \log_2 n - 1.415n + O(\log n) \]

精确分析表明，Ford-Johnson 算法在最坏情况下比较次数为：

\[F(n) = n \log_2 n - n \cdot \left( \log_2 \left( \frac{4}{3} \right)^{-1} \right) + O(\log n) \]

其中常数约为 \(1.415\)。

5. 与理论下界的对比

比较排序的决策树模型给出最坏情况下比较次数下界为 \(\lceil \log_2 n! \rceil\)。
利用斯特林公式：

\[\log_2 n! = n \log_2 n - n \log_2 e + O(\log n) \approx n \log_2 n - 1.443n + O(\log n) \]

Ford-Johnson 算法的比较次数（约 \(n \log_2 n - 1.415n\)）与此下界（约 \(n \log_2 n - 1.443n\)）相差仅约 \(0.028n\)，即非常接近理论最优。

6. 关键点总结

  1. 配对策略：减少递归规模至一半。
  2. 递归排序较大者：保证插入时的有序基准。
  3. Jacobsthal 顺序插入：最小化二分查找的总比较次数。
  4. 递推关系：精确刻画了比较次数增长。
  5. 接近最优：常数项差距极小，说明 Ford-Johnson 在确定性算法中几乎是最优的。

7. 实际应用与限制

  • 优点：比较次数极少，适合比较成本高的场景（如复杂键值比较）。
  • 缺点：实现复杂，需要额外空间管理配对关系，插入顺序的计算也增加开销。
  • 现代意义：更多作为理论研究的案例，实际中快速排序、TimSort 等因缓存友好性更常用。

通过以上步骤，我们完整理解了 Ford-Johnson 算法的设计原理、递推关系的建立与求解，以及其与比较排序理论下界的紧密关系。

排序算法之：最小比较数排序（Ford-Johnson Merge-Insertion Sort）的递推关系与比较次数下界分析 1. 问题描述 我们熟知比较排序算法的时间复杂度下界是 \(O(n \log n)\)，但针对具体的 \(n\)，是否存在一个 确定性算法 ，使得对任意长度为 \(n\) 的数组排序所需的 比较次数最少 ？ Ford-Johnson 算法（又称 Merge-Insertion Sort）是已知的、在实际 \(n\) 下能逼近理论最小比较次数的算法之一。 本题目要求： 解释 Ford-Johnson 算法的基本步骤。 推导其比较次数的递推关系。 分析该递推关系如何给出算法在最坏情况下的比较次数下界。 2. 算法基本思想 Ford-Johnson 算法结合了 合并排序 与 二分插入排序 的优点，分三个阶段： 阶段一：配对与比较 将 \(n\) 个元素两两配对，得到 \(\lfloor n/2 \rfloor\) 对。 对每对元素进行一次比较，将较小的放入集合 \(S\)，较大的放入集合 \(L\)（若 \(n\) 为奇数，多出的一个元素暂存）。 阶段二：递归排序较大者集合 \(L\) 对集合 \(L\) 递归应用 Ford-Johnson 算法排序（因为 \(L\) 的大小约为 \(n/2\)）。 排序后，\(L\) 中的元素按顺序记为 \(l_ 1 < l_ 2 < \dots < l_ {\lfloor n/2 \rfloor}\)。 阶段三：二分插入较小者集合 \(S\) 将 \(S\) 中的元素依次插入已排序的 \(L\) 序列中，但 插入顺序经过精心设计 ： 按照 \(S\) 中元素在原配对中对应的 \(l_ i\) 的 下标顺序 插入，具体顺序由一组预定义的“插入点”决定（称为 Jacobsthal 数序列）。 3. 比较次数的递推关系 设 \(F(n)\) 表示 Ford-Johnson 算法对 \(n\) 个元素排序所需的 最坏情况比较次数 。 步骤分析： 阶段一 ：配对比较次数为 \(\lfloor n/2 \rfloor\)。 阶段二 ：递归排序 \(L\)，其大小为 \(\lceil n/2 \rceil\)，比较次数为 \(F(\lceil n/2 \rceil)\)。 阶段三 ：插入 \(S\) 中的元素。 已排序的 \(L\) 序列长度为 \(m = \lceil n/2 \rceil\)。 \(S\) 的大小为 \(\lfloor n/2 \rfloor\)。 关键：每个 \(s_ i\) 插入时，已知其对应的 \(l_ i\) 在 \(L\) 中的位置，因此只需在 \(l_ i\) 之前 的部分进行二分查找（因为 \(s_ i < l_ i\)），查找范围长度逐渐增加。 通过 Jacobsthal 顺序安排插入，使得 每次二分查找的成本最小化 。 递推公式推导： 插入第 \(k\) 个 \(s\) 元素时，二分查找的比较次数约为 \(\lceil \log_ 2 (k+1) \rceil\)。 对 \(\lfloor n/2 \rfloor\) 个插入操作，总比较次数近似为： \[ \sum_ {k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} \lceil \log_ 2 (k+1) \rceil \] 因此递推关系为： \[ F(n) = \lfloor n/2 \rfloor + F(\lceil n/2 \rceil) + \sum_ {k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} \lceil \log_ 2 (k+1) \rceil \] 其中 \(F(0)=0, F(1)=0\)。 4. 递推关系的求解与下界分析 上述递推关系可以进一步简化。 记 \(n = 2^m\) 或近似分析，可得： \[ F(n) \approx \frac{n}{2} + F\left(\frac{n}{2}\right) + \sum_ {k=1}^{n/2} \lceil \log_ 2 (k+1) \rceil \] 而 \(\sum_ {k=1}^{n/2} \lceil \log_ 2 (k+1) \rceil \approx \frac{n}{2} \log_ 2 n - n + O(\log n)\)。 代入递推并展开： \[ F(n) \approx \frac{n}{2} + F\left(\frac{n}{2}\right) + \frac{n}{2} \log_ 2 n - n + O(\log n) \] 合并常数项后递归展开，可得： \[ F(n) \approx n \log_ 2 n - 1.415n + O(\log n) \] 精确分析表明，Ford-Johnson 算法在最坏情况下比较次数为： \[ F(n) = n \log_ 2 n - n \cdot \left( \log_ 2 \left( \frac{4}{3} \right)^{-1} \right) + O(\log n) \] 其中常数约为 \(1.415\)。 5. 与理论下界的对比 比较排序的决策树模型给出最坏情况下比较次数下界为 \(\lceil \log_ 2 n ! \rceil\)。 利用斯特林公式： \[ \log_ 2 n! = n \log_ 2 n - n \log_ 2 e + O(\log n) \approx n \log_ 2 n - 1.443n + O(\log n) \] Ford-Johnson 算法的比较次数（约 \(n \log_ 2 n - 1.415n\)）与此下界（约 \(n \log_ 2 n - 1.443n\)）相差仅约 \(0.028n\)，即 非常接近理论最优 。 6. 关键点总结 配对策略 ：减少递归规模至一半。 递归排序较大者 ：保证插入时的有序基准。 Jacobsthal 顺序插入 ：最小化二分查找的总比较次数。 递推关系 ：精确刻画了比较次数增长。 接近最优 ：常数项差距极小，说明 Ford-Johnson 在确定性算法中几乎是最优的。 7. 实际应用与限制 优点 ：比较次数极少，适合比较成本高的场景（如复杂键值比较）。 缺点 ：实现复杂，需要额外空间管理配对关系，插入顺序的计算也增加开销。 现代意义 ：更多作为理论研究的案例，实际中快速排序、TimSort 等因缓存友好性更常用。 通过以上步骤，我们完整理解了 Ford-Johnson 算法的设计原理、递推关系的建立与求解，以及其与比较排序理论下界的紧密关系。