切棍子的最小成本问题（基础版）

一、题目描述

你有一根长度为 n 的木棍，它上面标记了 m 个需要切割的位置，这些位置距离木棍左端点的长度分别是 cuts[0], cuts[1], …, cuts[m-1]。
木棍的长度为整数，并且保证所有切割位置都是整数且在 (0, n) 范围内。

每次切割时，你需要将当前木棍（或木棍的某一段）切成两段，每次切割的成本等于当前被切割木棍的长度。
问：
按照怎样的顺序切割这些标记的位置，可以使总切割成本最小？
输出最小总成本。

注意：

• 切割顺序会影响总成本。
• 每次只能切割一整段木棍，不能同时在不同段上切割。

二、问题分析与状态定义

2.1 问题理解

如果我们直接在原木棍上标记切割位置，那么最终这些位置会将木棍分成 m+1 段。
例如，n = 7，cuts = [1, 3, 5]，最终会切成 4 段：[0,1], [1,3], [3,5], [5,7]。

如果我们先切位置 3，则先切成两段 [0,3] 和 [3,7]，此时成本 = 7，然后再分别处理这两段上的切割位置。

关键：切割顺序会影响中间段的长度，从而影响后续切割成本。

2.2 转化为区间 DP

为了方便处理，我们将切割位置排序，并在序列首尾加入 0 和 n。
设排序后的数组为：

a[0] = 0,  a[1] = cuts[0], …, a[m] = cuts[m-1],  a[m+1] = n

这样，任意两个相邻的 a[i] 和 a[i+1] 之间的长度就是最终的一段。

如果我们选择在某个位置 a[k] 切割，那么相当于在区间 (i, j) 中选择一个分割点 k，其中 i 和 j 是原始切割点数组中的索引（对应 a 数组中的索引）。

定义状态：
dp[i][j] 表示在木棍的原始区间 (a[i], a[j]) 之间（即从 a[i] 到 a[j] 的这一段木棍）完成所有内部切割位置（即 a[i+1] 到 a[j-1]）所需的最小成本。
其中 i 和 j 是 a 数组中的索引，且 j - i >= 1。

三、状态转移方程

3.1 切割位置的选择

对于区间 (a[i], a[j])，如果我们选择第一个切割位置是 a[k]，其中 i < k < j，那么：

1. 先将这一段木棍在 a[k] 处切一刀，此时木棍长度是 a[j] - a[i]，所以这一刀成本 = a[j] - a[i]。
2. 然后我们需要独立切割左区间 (a[i], a[k]) 和右区间 (a[k], a[j]) 中的所有内部切割点。

因此：
dp[i][j] = (a[j] - a[i]) + dp[i][k] + dp[k][j]，其中 k 是 i 到 j 之间的某个切割点。

我们要对所有可能的 k 取最小值。

3.2 初始条件与最终目标

如果没有内部切割点（即 j = i+1），那么 dp[i][j] = 0，因为不需要再切。

最终我们要计算的是整个木棍区间 (a[0], a[m+1]) 的最小切割成本，即 dp[0][m+1]。

四、动态规划递推顺序

我们需要按区间长度从小到大计算。
区间长度 len 从 2 开始（即 j = i+1 时，长度为 0 成本，已经初始化）。
实际上，我们要考虑的是区间内至少包含一个切割点，即 j - i >= 2 时才开始计算。

递推顺序：

for len from 2 to m+1:    // 区间包含的段数
    for i from 0 to m+1-len:
        j = i + len
        if len == 1: dp[i][j] = 0
        else:
            dp[i][j] = INF
            for k from i+1 to j-1:
                dp[i][j] = min(dp[i][j], (a[j] - a[i]) + dp[i][k] + dp[k][j])

五、示例演算

输入：n = 7, cuts = [1, 3, 5]

1. 构建 a 数组：[0, 1, 3, 5, 7]，长度 m+2 = 5，索引 0~4。
2. 初始化：dp[i][i+1] = 0 对于所有 i=0..3。

计算区间长度 len=2（即 j=i+2，内部有一个切割点）：

• i=0, j=2, a[0]=0, a[2]=3, 中间切割点 k=1：
  dp[0][2] = (3-0) + dp[0][1] + dp[1][2] = 3 + 0 + 0 = 3
• i=1, j=3, a[1]=1, a[3]=5, 中间切割点 k=2：
  dp[1][3] = (5-1) + dp[1][2] + dp[2][3] = 4 + 0 + 0 = 4
• i=2, j=4, a[2]=3, a[4]=7, 中间切割点 k=3：
  dp[2][4] = (7-3) + dp[2][3] + dp[3][4] = 4 + 0 + 0 = 4

计算区间长度 len=3（内部有两个切割点）：

• i=0, j=3, a[0]=0, a[3]=5，中间 k 可取 1 或 2：
  k=1: 成本 = (5-0) + dp[0][1] + dp[1][3] = 5 + 0 + 4 = 9
  k=2: 成本 = (5-0) + dp[0][2] + dp[2][3] = 5 + 3 + 0 = 8
  取 min = 8 ⇒ dp[0][3] = 8

• i=1, j=4, a[1]=1, a[4]=7，中间 k 可取 2 或 3：
  k=2: 成本 = (7-1) + dp[1][2] + dp[2][4] = 6 + 0 + 4 = 10
  k=3: 成本 = (7-1) + dp[1][3] + dp[3][4] = 6 + 4 + 0 = 10
  取 min = 10 ⇒ dp[1][4] = 10

计算区间长度 len=4（整个木棍区间，内部切割点 1,3,5）：
i=0, j=4, a[0]=0, a[4]=7，中间 k 可取 1,2,3：
k=1: 成本 = 7 + dp[0][1] + dp[1][4] = 7 + 0 + 10 = 17
k=2: 成本 = 7 + dp[0][2] + dp[2][4] = 7 + 3 + 4 = 14
k=3: 成本 = 7 + dp[0][3] + dp[3][4] = 7 + 8 + 0 = 15
取 min = 14

结果：dp[0][4] = 14

六、复杂度

• 状态数：O(m²)
• 每个状态需要枚举中间切割点 k，O(m)
• 总复杂度 O(m³)
• 空间 O(m²)

七、边界情况与注意点

1. cuts 需要排序，并加入 0 和 n 以便统一处理。
2. 如果 cuts 为空，结果为 0。
3. 在实现时，dp 数组初始化为 0，对于不需要切割的区间，自动为 0，不影响结果。

八、总结

这个“切棍子”问题是区间 DP 的经典例题，核心是：

1. 将原木棍的切割点扩展为有序数组。
2. 定义 dp[i][j] 为完成区间内所有切割的最小成本。
3. 每次在区间内选择一个位置切第一刀，成本为区间长度，并递归处理左右子区间。
4. 按区间长度递推计算。

通过这种方法，我们可以用 O(m³) 的时间找到最优切割顺序。