SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的轮函数 Keccak-f[b] 的状态数组结构与索引映射

字数 2463 2025-12-24 14:22:59

SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的轮函数 Keccak-f[b] 的状态数组结构与索引映射

题目描述
SHA-3（Keccak）算法采用海绵结构，其核心是轮函数Keccak-f[b]。Keccak-f[b]对一个称为“状态”的二维位数组进行多轮置换。状态的大小b（以位为单位）可以是{25, 50, 100, 200, 400, 800, 1600}之一，其中SHA-3标准使用b=1600。这个状态在内部被组织为一个5×5×w的三维数组，其中w=b/25。我们需要理解这个三维状态数组的结构，以及如何将数组中的位与它在算法中的索引（坐标）对应起来。这包括状态数组的坐标定义、位到坐标的映射规则，以及在轮函数各步骤（θ, ρ, π, χ, ι）中如何根据坐标访问和操作位。理解状态结构是掌握Keccak-f[b]运算的基础。

解题过程讲解

我将循序渐进地讲解Keccak-f[b]状态数组的结构、索引映射及其在运算中的作用。

第一步：理解状态的基本表示
Keccak-f[b]处理的状态由b个二进制位（0或1）组成。在算法描述中，这个状态用一个大写的字母A表示。为了便于运算，这些位被组织成一个三维数组，其尺寸为：

宽度（x方向）：5
高度（y方向）：5
深度（z方向）：w
其中w是一个整数，且b = 5 × 5 × w = 25w。对于SHA-3，b=1600，所以w = 1600 / 25 = 64。因此，SHA-3的状态是一个5×5×64的三维位数组。

第二步：三维数组的坐标约定
三维数组中的每个位由三个整数坐标(x, y, z)唯一确定，其中：

x：列索引，取值范围是0到4。
y：行索引，取值范围是0到4。
z：纵深（或称为“道”）索引，取值范围是0到w-1（对于SHA-3，z从0到63）。

坐标的几何直观：可以将状态想象成一个5×5的“地板”，地板上每个“格子”是一个垂直的“柱”（column），每个柱的高度是w位。因此，坐标(x, y)指定了哪个柱，坐标z指定了在该柱中的高度位置。

第三步：状态位的表示与索引映射
状态A可以看作一个三维数组A[x][y][z]，其中每个元素是一个位（0或1）。在Keccak规范文档中，状态也常常被表示为一个二维数组的“平面”（plane）或“片”（slice）的集合，但三维数组的视角最直接。

索引映射规则：给定一个线性位置（即从0到b-1的索引），如何计算出其三维坐标(x, y, z)？反过来，给定(x, y, z)，如何计算其线性位置？虽然轮函数步骤的公式直接使用三维坐标，但了解映射有助于理解状态布局。

通常，线性索引i（0 ≤ i < b）到坐标(x, y, z)的映射为（一种常见方式，具体实现可能调整顺序，但Keccak官方定义如下）：

z = i mod w
y = ⌊i / w⌋ mod 5
x = ⌊i / (5w)⌋ mod 5
换句话说，索引i从最低维度z开始增加，然后是y，最后是x。这种映射保证了相邻的z值在内存中可能是连续的（取决于实现），但这不是强制要求。

在轮函数的描述中，我们总是使用三维坐标(x, y, z)来引用位，而不关心线性布局。

第四步：状态在轮函数步骤中的使用
Keccak-f[b]的每一轮由5个步骤组成：θ (Theta)、ρ (Rho)、π (Pi)、χ (Chi)、ι (Iota)。每个步骤都对状态数组进行操作，且操作依赖于坐标。下面简要说明状态结构在每个步骤中的作用：

θ步骤（扩散）：计算每个列的奇偶性（即模2和），然后与相邻列进行异或。这里涉及对固定(x, y)的整个“柱”（所有z值）的操作，以及沿x和y方向的相邻列。具体公式为：
```
C[x][z] = A[x][0][z] ⊕ A[x][1][z] ⊕ A[x][2][z] ⊕ A[x][3][z] ⊕ A[x][4][z]
D[x][z] = C[x-1 mod 5][z] ⊕ C[x+1 mod 5][z-1 mod w]
A'[x][y][z] = A[x][y][z] ⊕ D[x][z]
```
可见，θ步骤需要沿着y方向聚合位（对每个固定的(x, z)），然后沿着x和z方向传播。状态的三维结构使得这种沿不同维度的运算表达非常清晰。
ρ步骤（位循环移位）：对每个(x, y)对应的“柱”（即一个长度为w的“道”）进行循环左移。移位量r[x][y]是预定义的常数，与w有关。操作定义为：
```
A'[x][y][z] = A[x][y][z - r[x][y] mod w]
```
这里，(x, y)指定哪个柱，z指定柱中的位置。ρ步骤仅在z维度上进行移位，利用了状态的三维结构将柱视为一个循环数组。
π步骤（行重排）：将整个状态重新排列，将每个位从位置(x, y, z)移动到新的位置(x', y', z)，其中z坐标保持不变。变换为：
```
(x', y') = ( (x + 3y) mod 5, x )
```
这相当于在xy平面上对5×5的“片”（slice，固定z）进行一个置换。π步骤改变了位之间的x-y关联，增强了扩散。
χ步骤（非线性层）：对每个“行”（固定y和z，x从0到4）应用一个5位的S盒。S盒函数为：
```
A'[x][y][z] = A[x][y][z] ⊕ ( (A[x+1 mod 5][y][z] ⊕ 1) · A[x+2 mod 5][y][z] )
```
这里，对每个固定的(y, z)，我们取5个位（x=0..4）作为一个输入，输出一个新位。χ步骤是非线性的核心，其操作沿着x方向进行，依赖于状态中位的行结构。
ι步骤（轮常数加）：将轮常数与状态中的一个特定“道”（一个固定(x, y)的柱）进行异或。更精确地说，只修改(x, y) = (0, 0)的柱中的某些位（由轮常数决定）。操作定义为：
```
A[0][0][z] = A[0][0][z] ⊕ RC[z] （对于z满足轮常数RC[z]=1的位）
```
这体现了状态中单个柱可以被独立访问。

第五步：总结状态结构的重要性
Keccak-f[b]的状态三维结构不是随意的，它使得轮函数的五个步骤可以高效地表达和实现：

θ、ρ、ι 主要沿z方向（柱）操作。
π 在xy平面内置换。
χ 沿x方向（行）操作。
这种设计确保了高扩散和非线性，同时允许并行计算（例如，对不同的z可以同时计算χ步骤）。

关键点：状态数组A[x][y][z]的索引(x, y, z)是轮函数所有运算的基础。在实现中，状态可能存储为线性数组，但运算时必须通过坐标映射来访问正确的位。理解这个三维结构是理解Keccak轮函数如何工作的前提。

SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的轮函数 Keccak-f[ b] 的状态数组结构与索引映射题目描述 SHA-3（Keccak）算法采用海绵结构，其核心是轮函数Keccak-f[ b]。Keccak-f[ b]对一个称为“状态”的二维位数组进行多轮置换。状态的大小b（以位为单位）可以是{25, 50, 100, 200, 400, 800, 1600}之一，其中SHA-3标准使用b=1600。这个状态在内部被组织为一个5×5×w的三维数组，其中w=b/25。我们需要理解这个三维状态数组的结构，以及如何将数组中的位与它在算法中的索引（坐标）对应起来。这包括状态数组的坐标定义、位到坐标的映射规则，以及在轮函数各步骤（θ, ρ, π, χ, ι）中如何根据坐标访问和操作位。理解状态结构是掌握Keccak-f[ b ]运算的基础。解题过程讲解我将循序渐进地讲解Keccak-f[ b ]状态数组的结构、索引映射及其在运算中的作用。第一步：理解状态的基本表示 Keccak-f[ b]处理的状态由b个二进制位（0或1）组成。在算法描述中，这个状态用一个大写的字母 A 表示。为了便于运算，这些位被组织成一个三维数组，其尺寸为：宽度（x方向）：5 高度（y方向）：5 深度（z方向）：w 其中 w 是一个整数，且 b = 5 × 5 × w = 25w 。对于SHA-3， b=1600 ，所以 w = 1600 / 25 = 64 。因此，SHA-3的状态是一个5×5×64的三维位数组。第二步：三维数组的坐标约定三维数组中的每个位由三个整数坐标 (x, y, z) 唯一确定，其中： x ：列索引，取值范围是0到4。 y ：行索引，取值范围是0到4。 z ：纵深（或称为“道”）索引，取值范围是0到 w-1 （对于SHA-3，z从0到63）。坐标的几何直观：可以将状态想象成一个5×5的“地板”，地板上每个“格子”是一个垂直的“柱”（column），每个柱的高度是w位。因此，坐标 (x, y) 指定了哪个柱，坐标 z 指定了在该柱中的高度位置。第三步：状态位的表示与索引映射状态 A 可以看作一个三维数组 A[x][y][z] ，其中每个元素是一个位（0或1）。在Keccak规范文档中，状态也常常被表示为一个二维数组的“平面”（plane）或“片”（slice）的集合，但三维数组的视角最直接。索引映射规则：给定一个线性位置（即从0到b-1的索引），如何计算出其三维坐标 (x, y, z) ？反过来，给定 (x, y, z) ，如何计算其线性位置？虽然轮函数步骤的公式直接使用三维坐标，但了解映射有助于理解状态布局。通常，线性索引 i （0 ≤ i < b）到坐标 (x, y, z) 的映射为（一种常见方式，具体实现可能调整顺序，但Keccak官方定义如下）： z = i mod w y = ⌊i / w⌋ mod 5 x = ⌊i / (5w)⌋ mod 5 换句话说，索引 i 从最低维度 z 开始增加，然后是 y ，最后是 x 。这种映射保证了相邻的 z 值在内存中可能是连续的（取决于实现），但这不是强制要求。在轮函数的描述中，我们总是使用三维坐标 (x, y, z) 来引用位，而不关心线性布局。第四步：状态在轮函数步骤中的使用 Keccak-f[ b ]的每一轮由5个步骤组成：θ (Theta)、ρ (Rho)、π (Pi)、χ (Chi)、ι (Iota)。每个步骤都对状态数组进行操作，且操作依赖于坐标。下面简要说明状态结构在每个步骤中的作用： θ步骤（扩散）：计算每个列的奇偶性（即模2和），然后与相邻列进行异或。这里涉及对固定 (x, y) 的整个“柱”（所有z值）的操作，以及沿x和y方向的相邻列。具体公式为：可见，θ步骤需要沿着y方向聚合位（对每个固定的 (x, z) ），然后沿着x和z方向传播。状态的三维结构使得这种沿不同维度的运算表达非常清晰。 ρ步骤（位循环移位）：对每个 (x, y) 对应的“柱”（即一个长度为w的“道”）进行循环左移。移位量 r[x][y] 是预定义的常数，与 w 有关。操作定义为：这里， (x, y) 指定哪个柱， z 指定柱中的位置。ρ步骤仅在z维度上进行移位，利用了状态的三维结构将柱视为一个循环数组。 π步骤（行重排）：将整个状态重新排列，将每个位从位置 (x, y, z) 移动到新的位置 (x', y', z) ，其中z坐标保持不变。变换为：这相当于在xy平面上对5×5的“片”（slice，固定z）进行一个置换。π步骤改变了位之间的x-y关联，增强了扩散。 χ步骤（非线性层）：对每个“行”（固定y和z，x从0到4）应用一个5位的S盒。S盒函数为：这里，对每个固定的 (y, z) ，我们取5个位（x=0..4）作为一个输入，输出一个新位。χ步骤是非线性的核心，其操作沿着x方向进行，依赖于状态中位的行结构。 ι步骤（轮常数加）：将轮常数与状态中的一个特定“道”（一个固定 (x, y) 的柱）进行异或。更精确地说，只修改 (x, y) = (0, 0) 的柱中的某些位（由轮常数决定）。操作定义为：这体现了状态中单个柱可以被独立访问。第五步：总结状态结构的重要性 Keccak-f[ b ]的状态三维结构不是随意的，它使得轮函数的五个步骤可以高效地表达和实现： θ、ρ、ι 主要沿z方向（柱）操作。 π 在xy平面内置换。 χ 沿x方向（行）操作。这种设计确保了高扩散和非线性，同时允许并行计算（例如，对不同的z可以同时计算χ步骤）。关键点：状态数组 A[x][y][z] 的索引 (x, y, z) 是轮函数所有运算的基础。在实现中，状态可能存储为线性数组，但运算时必须通过坐标映射来访问正确的位。理解这个三维结构是理解Keccak轮函数如何工作的前提。