未被详细、明确地作为独立标题讲述过
字数 4295 2025-12-24 11:34:48

好的，我们来看一个在“区间动态规划”领域中具有代表性，且在您提供的列表中 未被详细、明确地作为独立标题讲述过 的经典问题：

题目：合并相邻石子堆的最小成本问题（每次合并的得分为两堆石子数量之和的平方，求最小总得分）

问题描述

我们有一排 n 堆石子，排成一行。第 i 堆石子有 stones[i] 个石子。我们的目标是将所有石子堆合并成一堆。

合并的规则是：每次只能合并相邻的两堆石子。合并的成本（或称为得分）定义为被合并的两堆石子的石子数量之和的平方。
例如，合并两堆石子，数量分别为 a 和 b，则本次合并的成本为 (a + b)^2。

在整个过程中，你需要不断地合并相邻堆，直到只剩下一堆为止。不同的合并顺序会导致总成本不同。
请你设计一个算法，计算出将所有石子堆合并成一堆的最小总成本。

示例：
输入：stones = [1, 2, 3]
输出：29
解释：
方案一：先合并前两堆，成本 (1+2)^2 = 9，得到新堆 [3， 3]；再合并这两堆，成本 (3+3)^2 = 36；总成本 9 + 36 = 45。
方案二：先合并后两堆，成本 (2+3)^2 = 25，得到新堆 [1， 5]；再合并这两堆，成本 (1+5)^2 = 36；总成本 25 + 36 = 61。
方案三（最优）：先合并第1和第3堆？不可以，因为它们不相邻。
先合并1和2得 [3, 3]，成本9；再合并得36，总45。
先合并2和3得 [1， 5]，成本25；再合并得36，总61。
等等...等一下，似乎没有比45更小的了？让我再算算。

等等，我上面的计算有误。关键在于合并后新堆的石子数是两堆之和，这个和会参与下一次合并。
让我们用区间DP来正确计算：

对于 [1， 2， 3]:
前缀和：prefix = [0， 1， 3， 6]（prefix[i]表示前i堆的和，prefix[0]=0）。

定义 dp[i][j] 为合并第 i 堆到第 j 堆（闭区间）成一堆的最小成本。
dp[1][3] 是我们要求的。

  1. 分割点 k=1：先合并 [1, 2] 再与 3 合并。

    • 合并 [1,2]：成本 dp[1][2] = (1+2)^2 = 9。合并后这堆的数量是 sum(1，2) = 3。
    • 将 3 (新堆) 与 3（原第三堆）合并：成本 (3+3)^2 = 36。
    • 总成本：dp[1][2] + dp[3][3] + (sum(1，2) + stones[3])^2？不对，因为dp[i][j]已经包含了合并i到j的所有成本，所以不能直接加(3+3)^2。
    • 正确的递推是：dp[1][3] 当 k=1 时 = dp[1][1] + dp[2][3] + (sum(1，3))^2。
      • dp[1][1] = 0（一堆无需合并）。
      • dp[2][3] = (2+3)^2 = 25。
      • 总区间和 sum(1,3) = 6，平方为36。
      • 所以成本 = 0 + 25 + 36 = 61。

  2. 分割点 k=2：先合并 [2，3] 再与 1 合并。

    • dp[1][3] = dp[1][2] + dp[3][3] + (sum(1，3))^2。
      • dp[1][2] = 9。
      • dp[3][3] = 0。
      • sum(1，3)=6，平方36。
      • 所以成本 = 9 + 0 + 36 = 45。

比较 61 和 45，最小值为 45。
所以对于示例 [1， 2， 3]，最小总成本是 45，而不是29。29 这个数字可能是其他题目的答案（比如和等于乘积）。让我们验证题目：成本是和的平方。那么 [1，2，3] 的结果就是 45。如果我的问题描述是“求最小总得分”，那么示例输出应该对应地改为 45。为了讲解的严谨性，我们以 [1， 2， 3] 的最小总成本 45 为正确答案来继续讲解。

解题思路分析

这是一道典型的区间动态规划问题。

  1. 状态定义：我们关心的是一个连续区间 [i, j] 内的石子合并问题。定义 dp[i][j] 表示将下标从 i 到 j 的这 (j-i+1) 堆石子合并成一堆的最小总成本。最终答案是 dp[0][n-1]。
  2. 状态转移：如何得到 dp[i][j]？考虑最后一次合并操作。在将区间 [i， j] 最终合并成一堆之前，它一定是由两堆合并而来的。假设最后合并时，左边那大堆是由区间 [i, k] 合并成的，右边那大堆是由区间 [k+1, j] 合并成的（其中 i <= k < j）。
    • 合并 [i， k] 的最小成本是 dp[i][k]。
    • 合并 [k+1， j] 的最小成本是 dp[k+1][j]。
    • 最后一步合并的成本是：(sum(i， j))^2，其中 sum(i， j) 是区间 [i， j] 所有石子的总数（即最终合并的两大堆各自石子数之和）。
    • 因此，对于这个特定的分割点 k，总成本为：dp[i][k] + dp[k+1][j] + (sum(i， j))^2。
    • 为了得到 dp[i][j] 的最小值，我们需要枚举所有可能的分割点 k，并取上述计算结果的最小值。
  3. 基础情况：当区间只有一堆石子时（即 i == j），不需要合并，成本为 0。所以 dp[i][i] = 0。
  4. 计算顺序：由于计算大区间 [i， j] 时，依赖于其内部更小的区间 [i， k] 和 [k+1, j]，所以我们必须按照区间长度从小到大的顺序来计算。先计算所有长度为2的区间，然后是长度为3的区间，...，最后是长度为n的区间。
  5. 区间和快速计算：为了高效计算任意区间 [i， j] 的和，我们可以预先计算一个前缀和数组 prefix，其中 prefix[0]=0，prefix[i]=stones[0]+stones[1]+...+stones[i-1]。这样 sum(i， j) = prefix[j+1] - prefix[i]。

详细解题步骤

我们以 stones = [1， 2, 3] 为例，n = 3。

  1. 初始化：

    • 创建 dp 表，大小为 n x n，所有元素初始化为一个很大的数（比如无穷大 inf）。
    • 设置基础情况：dp[i][i] = 0 对于所有 i。因为一堆石子不需要合并。
    • 计算前缀和 prefix:
      • prefix[0] = 0
      • prefix[1] = stones[0] = 1
      • prefix[2] = prefix[1] + stones[1] = 1 + 2 = 3
      • prefix[3] = prefix[2] + stones[2] = 3 + 3 = 6

  2. 按区间长度 len 从小到大计算：

    • 长度 len = 2（即区间包含2堆石子）：
      • 区间 [0， 1] (石子 [1， 2])：
        • 只有一种合并方式，k 只能等于 0。
        • sum = prefix[2] - prefix[0] = 3 - 0 = 3。
        • dp[0][1] = dp[0][0] + dp[1][1] + sum^2 = 0 + 0 + 3^2 = 9。
      • 区间 [1， 2] (石子 [2， 3])：
        • sum = prefix[3] - prefix[1] = 6 - 1 = 5。
        • dp[1][2] = dp[1][1] + dp[2][2] + 5^2 = 0 + 0 + 25 = 25。
    • 长度 len = 3（即区间包含3堆石子，我们的目标区间）：
      • 区间 [0， 2] (石子 [1， 2， 3])：
        • 枚举分割点 k 从 0 到 1。
        • sum = prefix[3] - prefix[0] = 6 - 0 = 6。
        • 当 k = 0：
          • dp[0][2] 候选值 = dp[0][0] + dp[1][2] + 6^2 = 0 + 25 + 36 = 61。
        • 当 k = 1：
          • dp[0][2] 候选值 = dp[0][1] + dp[2][2] + 6^2 = 9 + 0 + 36 = 45。
        • 取最小值：dp[0][2] = min(61， 45) = 45。

  3. 得到答案：dp[0][n-1] 即 dp[0][2] = 45。

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n³)。我们需要枚举所有区间 O(n²)，对于每个区间，需要枚举其内部所有可能的分割点 O(n)。
  • 空间复杂度：O(n²)，用于存储 dp 表。使用前缀和数组的空间为 O(n)。

核心要点与总结

这道题是区间DP的“教科书式”应用，清晰地展示了该类问题的思考框架：

  1. 定义以区间为状态：dp[i][j] 表示解决子问题 [i， j] 的最优解。
  2. 寻找合并/分割点：考虑区间最后一步是如何形成的（通常是通过一个分割点 k 将区间分成两个子区间分别处理，再合并）。
  3. 状态转移方程：dp[i][j] = min_{i<=k<j} { dp[i][k] + dp[k+1][j] + cost(i， j， k) }。其中 cost 函数是合并两个子区间结果时的代价，这里非常关键：在这个问题中，cost 是 (sum(i, j))^2。请注意，这个代价与分割点 k 无关，只与整个区间的总和有关。这是因为无论你怎么分割、按什么顺序合并，最终把整个区间 [i, j] 合成一堆时，你都需要将它的所有石子加总一次，而最后一步合并的成本正是这个总和的平方。这简化了转移方程。
  4. 确定计算顺序：从小区间到大区间，保证在计算大区间时，它所依赖的小区间已经计算完毕。
  5. 利用前缀和优化：快速计算区间和，使 cost 函数的计算为 O(1)。

通过理解这个经典模型，你可以触类旁通，解决很多其他“合并相邻元素”的区间DP问题，区别往往在于 cost 函数的定义（例如，有的题目成本是两堆石子数的乘积，或者是其他函数）。

好的，我们来看一个在“区间动态规划”领域中具有代表性，且在您提供的列表中 未被详细、明确地作为独立标题讲述过 的经典问题： 题目：合并相邻石子堆的最小成本问题（每次合并的得分为两堆石子数量之和的平方，求最小总得分） 问题描述 我们有一排 n 堆石子，排成一行。第 i 堆石子有 stones[i] 个石子。我们的目标是 将所有石子堆合并成一堆 。 合并的规则是：每次只能合并 相邻 的两堆石子。合并的 成本 （或称为得分）定义为被合并的两堆石子的 石子数量之和的平方 。 例如，合并两堆石子，数量分别为 a 和 b ，则本次合并的成本为 (a + b)^2 。 在整个过程中，你需要不断地合并相邻堆，直到只剩下一堆为止。不同的合并顺序会导致 总成本 不同。 请你设计一个算法，计算出将所有石子堆合并成一堆的 最小总成本 。 示例 ： 输入： stones = [1, 2, 3] 输出： 29 解释： 方案一：先合并前两堆，成本 (1+2)^2 = 9 ，得到新堆 [3， 3] ；再合并这两堆，成本 (3+3)^2 = 36 ；总成本 9 + 36 = 45 。 方案二：先合并后两堆，成本 (2+3)^2 = 25 ，得到新堆 [1， 5] ；再合并这两堆，成本 (1+5)^2 = 36 ；总成本 25 + 36 = 61 。 方案三（最优）：先合并第1和第3堆？不可以，因为它们不相邻。 先合并1和2得 [3, 3] ，成本9；再合并得36，总45。 先合并2和3得 [1， 5] ，成本25；再合并得36，总61。 等等...等一下，似乎没有比45更小的了？让我再算算。 等等，我上面的计算有误。 关键在于合并后新堆的石子数是两堆之和，这个和会参与下一次合并 。 让我们用区间DP来正确计算： 对于 [1， 2， 3] : 前缀和： prefix = [0， 1， 3， 6] （prefix[ i]表示前i堆的和，prefix[ 0 ]=0）。 定义 dp[i][j] 为合并第 i 堆到第 j 堆（闭区间）成一堆的最小成本。 dp[1][3] 是我们要求的。 分割点 k=1 ：先合并 [1, 2] 再与 3 合并。 合并 [1,2] ：成本 dp[1][2] = (1+2)^2 = 9 。合并后这堆的数量是 sum(1，2) = 3 。 将 3 (新堆) 与 3 （原第三堆）合并：成本 (3+3)^2 = 36 。 总成本 ： dp[1][2] + dp[3][3] + (sum(1，2) + stones[3])^2 ？不对，因为 dp[i][j] 已经包含了合并 i 到 j 的所有成本，所以不能直接加 (3+3)^2 。 正确的递推是： dp[1][3] 当 k=1 时 = dp[1][1] + dp[2][3] + (sum(1，3))^2 。 dp[1][1] = 0 （一堆无需合并）。 dp[2][3] = (2+3)^2 = 25 。 总区间和 sum(1,3) = 6 ，平方为36。 所以成本 = 0 + 25 + 36 = 61 。 分割点 k=2 ：先合并 [2，3] 再与 1 合并。 dp[1][3] = dp[1][2] + dp[3][3] + (sum(1，3))^2 。 dp[1][2] = 9 。 dp[3][3] = 0 。 sum(1，3)=6 ，平方36。 所以成本 = 9 + 0 + 36 = 45 。 比较 61 和 45 ，最小值为 45 。 所以对于示例 [1， 2， 3] ，最小总成本是 45 ，而不是29。 29 这个数字可能是其他题目的答案（比如和等于乘积）。让我们验证题目：成本是和的平方。那么 [1，2，3] 的结果就是 45 。如果我的问题描述是“求最小总得分”，那么示例输出应该对应地改为 45 。为了讲解的严谨性，我们 以 [1， 2， 3] 的最小总成本 45 为正确答案 来继续讲解。 解题思路分析 这是一道典型的 区间动态规划 问题。 状态定义 ：我们关心的是一个连续区间 [i, j] 内的石子合并问题。定义 dp[i][j] 表示将下标从 i 到 j 的这 (j-i+1) 堆石子 合并成一堆 的最小总成本。最终答案是 dp[0][n-1] 。 状态转移 ：如何得到 dp[i][j] ？考虑最后一次合并操作。在将区间 [i， j] 最终合并成一堆之前，它一定是由 两堆 合并而来的。假设最后合并时，左边那大堆是由区间 [i, k] 合并成的，右边那大堆是由区间 [k+1, j] 合并成的（其中 i <= k < j ）。 合并 [i， k] 的最小成本是 dp[i][k] 。 合并 [k+1， j] 的最小成本是 dp[k+1][j] 。 最后一步合并的成本是： (sum(i， j))^2 ，其中 sum(i， j) 是区间 [i， j] 所有石子的总数（即最终合并的两大堆各自石子数之和）。 因此，对于这个特定的分割点 k ，总成本为： dp[i][k] + dp[k+1][j] + (sum(i， j))^2 。 为了得到 dp[i][j] 的最小值，我们需要 枚举所有可能的分割点 k ，并取上述计算结果的最小值。 基础情况 ：当区间只有一堆石子时（即 i == j ），不需要合并，成本为 0 。所以 dp[i][i] = 0 。 计算顺序 ：由于计算大区间 [i， j] 时，依赖于其内部更小的区间 [i， k] 和 [k+1, j] ，所以我们必须按照 区间长度从小到大 的顺序来计算。先计算所有长度为2的区间，然后是长度为3的区间，...，最后是长度为n的区间。 区间和快速计算 ：为了高效计算任意区间 [i， j] 的和，我们可以预先计算一个 前缀和数组 prefix ，其中 prefix[0]=0 ， prefix[i]=stones[0]+stones[1]+...+stones[i-1] 。这样 sum(i， j) = prefix[j+1] - prefix[i] 。 详细解题步骤 我们以 stones = [1， 2, 3] 为例， n = 3 。 初始化 ： 创建 dp 表，大小为 n x n ，所有元素初始化为一个很大的数（比如无穷大 inf ）。 设置基础情况： dp[i][i] = 0 对于所有 i 。因为一堆石子不需要合并。 计算前缀和 prefix : prefix[0] = 0 prefix[1] = stones[0] = 1 prefix[2] = prefix[1] + stones[1] = 1 + 2 = 3 prefix[3] = prefix[2] + stones[2] = 3 + 3 = 6 按区间长度 len 从小到大计算 ： 长度 len = 2 （即区间包含2堆石子）： 区间 [0， 1] (石子 [1， 2] )： 只有一种合并方式， k 只能等于 0 。 sum = prefix[2] - prefix[0] = 3 - 0 = 3 。 dp[0][1] = dp[0][0] + dp[1][1] + sum^2 = 0 + 0 + 3^2 = 9 。 区间 [1， 2] (石子 [2， 3] )： sum = prefix[3] - prefix[1] = 6 - 1 = 5 。 dp[1][2] = dp[1][1] + dp[2][2] + 5^2 = 0 + 0 + 25 = 25 。 长度 len = 3 （即区间包含3堆石子，我们的目标区间）： 区间 [0， 2] (石子 [1， 2， 3] )： 枚举分割点 k 从 0 到 1 。 sum = prefix[3] - prefix[0] = 6 - 0 = 6 。 当 k = 0 ： dp[0][2] 候选值 = dp[0][0] + dp[1][2] + 6^2 = 0 + 25 + 36 = 61 。 当 k = 1 ： dp[0][2] 候选值 = dp[0][1] + dp[2][2] + 6^2 = 9 + 0 + 36 = 45 。 取最小值： dp[0][2] = min(61， 45) = 45 。 得到答案 ： dp[0][n-1] 即 dp[0][2] = 45 。 复杂度分析 时间复杂度 ：O(n³)。我们需要枚举所有区间 O(n²) ，对于每个区间，需要枚举其内部所有可能的分割点 O(n) 。 空间复杂度 ：O(n²)，用于存储 dp 表。使用前缀和数组的空间为 O(n)。 核心要点与总结 这道题是区间DP的“教科书式”应用，清晰地展示了该类问题的思考框架： 定义以区间为状态 ： dp[i][j] 表示解决子问题 [i， j] 的最优解。 寻找合并/分割点 ：考虑区间最后一步是如何形成的（通常是通过一个分割点 k 将区间分成两个子区间分别处理，再合并）。 状态转移方程 ： dp[i][j] = min_{i<=k<j} { dp[i][k] + dp[k+1][j] + cost(i， j， k) } 。其中 cost 函数是合并两个子区间结果时的代价， 这里非常关键 ：在这个问题中， cost 是 (sum(i, j))^2 。 请注意，这个代价与分割点 k 无关，只与整个区间的总和有关 。这是因为无论你怎么分割、按什么顺序合并，最终把整个区间 [i, j] 合成一堆时，你都需要将它的所有石子加总一次，而最后一步合并的成本正是这个总和的平方。这简化了转移方程。 确定计算顺序 ：从小区间到大区间，保证在计算大区间时，它所依赖的小区间已经计算完毕。 利用前缀和优化 ：快速计算区间和，使 cost 函数的计算为 O(1)。 通过理解这个经典模型，你可以触类旁通，解决很多其他“合并相邻元素”的区间DP问题，区别往往在于 cost 函数的定义 （例如，有的题目成本是两堆石子数的乘积，或者是其他函数）。