SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的轮函数 Keccak-f[b] 整体步骤顺序与迭代
字数 3063 2025-12-24 10:27:04

SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的轮函数 Keccak-f[b] 整体步骤顺序与迭代

题目描述

本题目聚焦于SHA-3哈希算法（采用Keccak海绵结构）的核心——Keccak-f[b]置换函数。这个函数是一个固定长度的、可逆的置换，作用于一个大小为b比特（在SHA-3中b=1600）的内部状态上。我们需要深入理解Keccak-f[b]函数内部每一步（θ、ρ、π、χ、ι）的计算顺序、作用，以及整个置换函数是如何通过多轮（例如，b=1600时，轮数nr=24）迭代来混合状态数据的，最终实现高度的非线性和扩散。

解题过程详解

我们假设状态大小为b=1600比特，这是SHA-3标准中使用的参数。内部状态可以表示为一个5×5×w的三维数组a[x][y][z]，其中x和y的取值范围是0到4，z的取值范围是0到w-1，且b=25w。对于b=1600，w=64。所有操作在GF(2)上进行（即比特的异或、与、或、非运算）。

Keccak-f[1600]置换的步骤（通常称为“轮”的组成部分，但为了避免与“轮函数迭代轮数”混淆，我们称之为“步骤”）是顺序执行的，并且整个置换会将这些步骤重复nr=24轮。

下面我们循序渐进地讲解整个过程：

第1步：理解状态表示与索引约定

内部状态S是1600比特。将其视为一个三维比特数组a[x][y][z]：

  • x（列索引）：范围0-4
  • y（行索引）：范围0-4
  • z（层索引）：范围0-63
    因此，a[0][0][0]是第一个比特，a[4][4][63]是最后一个比特。这是理解后续所有步骤的基础坐标。

第2步：单轮Rnd(A, i_r)的内部步骤顺序

Keccak-f[1600]的每一轮（称为Rnd）由五个步骤组成，按顺序执行：

  1. θ (Theta)：线性混合层，提供列间扩散。
  2. ρ (Rho)：比特的循环移位，提供位之间的扩散。
  3. π (Pi)：对5×5的“平面”（固定z）进行位置置换，提供行/列的重排。
  4. χ (Chi)：唯一的非线性步骤，是5比特的S盒变换。
  5. ι (Iota)：与轮常数异或，破坏对称性，确保每轮都不同。

用伪代码表示，处理状态A的一轮操作为：
Rnd(A, i_r) = ι( χ( π( ρ( θ(A) ) ) ), i_r )
其中i_r是当前轮索引（从0到23）。

第3步：逐步拆解每个步骤

我们假设输入是当前状态数组A。

  1. θ 步骤 (Theta)：

    • 目标：将每一列的奇偶性（即该列所有比特的异或和）扩散到相邻的列，实现长距离扩散。
    • 计算：
      • 对于每个(x, z)，计算列的奇偶性：C[x][z] = A[x][0][z] ⊕ A[x][1][z] ⊕ A[x][2][z] ⊕ A[x][3][z] ⊕ A[x][4][z]。这是一个宽度为w=64的5个“薄片”（x方向）的数组。
      • 然后计算D[x][z] = C[x-1][z] ⊕ C[x+1][z-1]（这里的x-1, x+1是在模5下计算，z-1是循环移位，即在模w下计算）。
      • 最后，更新状态：A'[x][y][z] = A[x][y][z] ⊕ D[x][z]，对所有(x, y, z)。
    • 效果：每个比特被其所在列的两侧邻居列的奇偶性所影响，扩散性强。

  2. ρ 步骤 (Rho)：

    • 目标：对状态中的每个“通道”（即沿z方向的一列比特）进行固定距离的循环移位。移位量是预定义的常数，与(x, y)坐标有关，与轮数无关。
    • 计算：对于每个(x, y)，将整个通道（长度为w=64比特）循环左移r[x][y]位。移位偏移表r[x][y]是固定的，例如r[0][0]=0, r[1][0]=1, r[2][0]=62, ... 最大的偏移是r[4][2]=25。
    • 效果：在θ提供的列间扩散基础上，增加了每个通道内部的比特位置变化，增强了扩散。

  3. π 步骤 (Pi)：

    • 目标：重新排列5×5平面中“通道”的位置。它是一个固定置换，不改变通道内部比特的顺序，只改变通道在平面上的位置。
    • 计算：A'[x][y] = A[(x+3y) mod 5][x]。注意这里A[x][y]表示一个完整的64比特通道。这个置换可以看作是在5×5矩阵上，将(x, y)位置的通道移动到(x', y')位置。
    • 效果：打乱了θ和ρ步骤建立的局部模式，将扩散效果进一步扩展到整个状态数组。

  4. χ 步骤 (Chi)：

    • 目标：这是Keccak-f中唯一的非线性操作，是一个5比特的S盒变换，作用于状态的每一行（5个比特，每个来自不同的x坐标，但相同的y和z）。
    • 计算：对于每个(y, z)，考虑行(A[0][y][z], A[1][y][z], A[2][y][z], A[3][y][z], A[4][y][z])，然后计算：
      A'[x][y][z] = A[x][y][z] ⊕ ( (NOT A[x+1][y][z]) AND A[x+2][y][z] )，其中x+1, x+2是模5计算。
    • 效果：引入了非线性，这是密码学强度（如抵抗线性、差分密码分析）的关键。它作用于行，与前面步骤的列/通道操作正交，增加了混淆。

  5. ι 步骤 (Iota)：

    • 目标：破坏状态的对称性，确保每轮操作都不同。它只是将一个轮常数RC[i_r]加到状态的一个“通道”上。
    • 计算：A[0][0] = A[0][0] ⊕ RC[i_r]。这里A[0][0]是位于(0,0)的整个64比特通道，RC[i_r]是一个64位的轮常数，其值仅取决于轮索引i_r。常数的设计使得其汉明重量低，但能有效打破对称性。
    • 效果：使得每轮变换都不同，防止固定点等弱性质。

第4步：多轮迭代

Keccak-f[1600]置换，就是将这五个步骤（θ, ρ, π, χ, ι）作为一个整体，重复执行nr=24轮。用数学公式表达为：
S_final = ι( χ( π( ρ( θ( ... ι( χ( π( ρ( θ( S_initial ) ) ) ), 0 ) ... ) ) ) ), 23 )
其中，从内到外，从轮索引0执行到轮索引23。

每一轮i_r的输入是前一轮的输出状态（初始是第一轮的输入状态S_initial），每一轮内部严格按照θ→ρ→π→χ→ι的顺序执行，并且ι步骤使用的常数RC[i_r]取决于当前轮索引。

第5步：总结与安全设计思想

Keccak-f[b]的轮函数设计遵循了宽轨迹策略（Wide Trail Strategy）的扩展思想，但采用了新的结构：

  • θ 和 ρ 主要提供扩散，确保单个输入比特的变动能快速传播到大量输出比特。
  • χ 提供非线性，抵抗线性与差分分析。
  • π 在扩散和非线性层之间进行重排，确保多轮后扩散达到全局。
  • ι 添加非对称性，打破对称结构。
  • 通过24轮迭代，这些简单的步骤被组合起来，提供了巨大的安全裕度。每轮都重复这五个步骤，但每轮的ι常数不同，确保了变换的“各向异性”。

通过这样的设计，Keccak-f[1600]将1600比特的状态进行彻底的混合，使其在密码学上不可预测，从而为整个海绵结构提供了强大的伪随机置换核心，支撑起SHA-3的抗碰撞性和原像攻击等安全属性。

SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的轮函数 Keccak-f[ b] 整体步骤顺序与迭代 题目描述 本题目聚焦于SHA-3哈希算法（采用Keccak海绵结构）的核心——Keccak-f[ b]置换函数。这个函数是一个固定长度的、可逆的置换，作用于一个大小为b比特（在SHA-3中b=1600）的内部状态上。我们需要深入理解Keccak-f[ b ]函数内部每一步（θ、ρ、π、χ、ι）的计算顺序、作用，以及整个置换函数是如何通过多轮（例如，b=1600时，轮数nr=24）迭代来混合状态数据的，最终实现高度的非线性和扩散。 解题过程详解 我们假设状态大小为b=1600比特，这是SHA-3标准中使用的参数。内部状态可以表示为一个5×5×w的三维数组a[ x][ y][ z ]，其中x和y的取值范围是0到4，z的取值范围是0到w-1，且b=25w。对于b=1600，w=64。所有操作在GF(2)上进行（即比特的异或、与、或、非运算）。 Keccak-f[ 1600 ]置换的步骤（通常称为“轮”的组成部分，但为了避免与“轮函数迭代轮数”混淆，我们称之为“步骤”）是顺序执行的，并且整个置换会将这些步骤重复nr=24轮。 下面我们循序渐进地讲解整个过程： 第1步：理解状态表示与索引约定 内部状态S是1600比特。将其视为一个三维比特数组a[ x][ y][ z ]： x（列索引）：范围0-4 y（行索引）：范围0-4 z（层索引）：范围0-63 因此，a[ 0][ 0][ 0]是第一个比特，a[ 4][ 4][ 63 ]是最后一个比特。这是理解后续所有步骤的基础坐标。 第2步：单轮Rnd(A, i\_r)的内部步骤顺序 Keccak-f[ 1600 ]的每一轮（称为Rnd）由五个步骤组成，按顺序执行： θ (Theta) ：线性混合层，提供列间扩散。 ρ (Rho) ：比特的循环移位，提供位之间的扩散。 π (Pi) ：对5×5的“平面”（固定z）进行位置置换，提供行/列的重排。 χ (Chi) ：唯一的非线性步骤，是5比特的S盒变换。 ι (Iota) ：与轮常数异或，破坏对称性，确保每轮都不同。 用伪代码表示，处理状态A的一轮操作为： Rnd(A, i_r) = ι( χ( π( ρ( θ(A) ) ) ), i_r ) 其中 i_r 是当前轮索引（从0到23）。 第3步：逐步拆解每个步骤 我们假设输入是当前状态数组A。 θ 步骤 (Theta) ： 目标 ：将每一列的奇偶性（即该列所有比特的异或和）扩散到相邻的列，实现长距离扩散。 计算 ： 对于每个 (x, z) ，计算列的奇偶性： C[x][z] = A[x][0][z] ⊕ A[x][1][z] ⊕ A[x][2][z] ⊕ A[x][3][z] ⊕ A[x][4][z] 。这是一个宽度为w=64的5个“薄片”（x方向）的数组。 然后计算D[ x][ z] = C[ x-1][ z] ⊕ C[ x+1][ z-1 ]（这里的x-1, x+1是在模5下计算，z-1是循环移位，即在模w下计算）。 最后，更新状态： A'[x][y][z] = A[x][y][z] ⊕ D[x][z] ，对所有 (x, y, z) 。 效果 ：每个比特被其所在列的两侧邻居列的奇偶性所影响，扩散性强。 ρ 步骤 (Rho) ： 目标 ：对状态中的每个“通道”（即沿z方向的一列比特）进行固定距离的循环移位。移位量是预定义的常数，与 (x, y) 坐标有关，与轮数无关。 计算 ：对于每个 (x, y) ，将整个通道（长度为w=64比特）循环左移 r[x][y] 位。移位偏移表 r[x][y] 是固定的，例如 r[0][0]=0 , r[1][0]=1 , r[2][0]=62 , ... 最大的偏移是 r[4][2]=25 。 效果 ：在θ提供的列间扩散基础上，增加了每个通道内部的比特位置变化，增强了扩散。 π 步骤 (Pi) ： 目标 ：重新排列5×5平面中“通道”的位置。它是一个固定置换，不改变通道内部比特的顺序，只改变通道在平面上的位置。 计算 ： A'[x][y] = A[(x+3y) mod 5][x] 。注意这里 A[x][y] 表示一个完整的64比特通道。这个置换可以看作是在5×5矩阵上，将 (x, y) 位置的通道移动到 (x', y') 位置。 效果 ：打乱了θ和ρ步骤建立的局部模式，将扩散效果进一步扩展到整个状态数组。 χ 步骤 (Chi) ： 目标 ：这是Keccak-f中唯一的非线性操作，是一个5比特的S盒变换，作用于状态的每一行（5个比特，每个来自不同的x坐标，但相同的y和z）。 计算 ：对于每个 (y, z) ，考虑行 (A[0][y][z], A[1][y][z], A[2][y][z], A[3][y][z], A[4][y][z]) ，然后计算： A'[x][y][z] = A[x][y][z] ⊕ ( (NOT A[x+1][y][z]) AND A[x+2][y][z] ) ，其中x+1, x+2是模5计算。 效果 ：引入了非线性，这是密码学强度（如抵抗线性、差分密码分析）的关键。它作用于行，与前面步骤的列/通道操作正交，增加了混淆。 ι 步骤 (Iota) ： 目标 ：破坏状态的对称性，确保每轮操作都不同。它只是将一个轮常数RC[ i\_r ]加到状态的一个“通道”上。 计算 ： A[0][0] = A[0][0] ⊕ RC[i_r] 。这里 A[0][0] 是位于(0,0)的整个64比特通道，RC[ i\_r ]是一个64位的轮常数，其值仅取决于轮索引i\_r。常数的设计使得其汉明重量低，但能有效打破对称性。 效果 ：使得每轮变换都不同，防止固定点等弱性质。 第4步：多轮迭代 Keccak-f[ 1600]置换，就是将这五个步骤（θ, ρ, π, χ, ι）作为一个整体，重复执行 nr=24 轮。用数学公式表达为： S_final = ι( χ( π( ρ( θ( ... ι( χ( π( ρ( θ( S_initial ) ) ) ), 0 ) ... ) ) ) ), 23 ) 其中，从内到外，从轮索引0执行到轮索引23。 每一轮 i_r 的输入是前一轮的输出状态（初始是第一轮的输入状态S_ initial），每一轮内部严格按照θ→ρ→π→χ→ι的顺序执行，并且ι步骤使用的常数RC[ i\_r ]取决于当前轮索引。 第5步：总结与安全设计思想 Keccak-f[ b ]的轮函数设计遵循了宽轨迹策略（Wide Trail Strategy）的扩展思想，但采用了新的结构： θ 和 ρ 主要提供 扩散 ，确保单个输入比特的变动能快速传播到大量输出比特。 χ 提供 非线性 ，抵抗线性与差分分析。 π 在扩散和非线性层之间进行 重排 ，确保多轮后扩散达到全局。 ι 添加 非对称性 ，打破对称结构。 通过 24轮迭代 ，这些简单的步骤被组合起来，提供了巨大的安全裕度。每轮都重复这五个步骤，但每轮的ι常数不同，确保了变换的“各向异性”。 通过这样的设计，Keccak-f[ 1600 ]将1600比特的状态进行彻底的混合，使其在密码学上不可预测，从而为整个海绵结构提供了强大的伪随机置换核心，支撑起SHA-3的抗碰撞性和原像攻击等安全属性。